Rekha Ganita
Samrad Jagannatha

Google This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online. It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you. Usage guidelines Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. We also ask that you: + Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for personal, non-commercial purposes. + Refrain fivm automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help. + Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each file is essential for in forming people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. + Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe. About Google Book Search Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web at |http: //books .google .com/I I GIFT OF HORACE W. CARPENTIER पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७ , '- . ;••; ••.' • • THE REKHAGANITA OR GEOMETRY IN SANSKRIT COMPOSED BY SAMRID JAGANNATHA Volume I. Books I-VI. UNDERTAKEN FOR PUBLICATION BY THE LATE HARILAL HARSHADARAI DHRUVA. & A., LL. a, D. L. A. ( SWEDEN ), M. R, A. 8. ( LONDON AND BOMBAY ), CITY JOINT JUDGE AND SESSIONS JUDGE, BABODl, Edited and carried through the press with a Critical Pre&ce, Introduction, and notes in English BY KAMAliS'AllKARA PRANAS'ANKARA TRIYEDl, B.A FELLOW OF THE UNIVEB8ITY OF BOMBAY, HEAD MA8TEB, BROACH HIGH SCHOOL ( FORMERLY PROFESSOR OF ORIENTAL LANGUAGES, sAmALADIs COLLEGE, BHAYA- nagab, and acting professor of Oriental languages, elphin- stone and deccan colleges ). Ist Edition— 300 Copies. ( Registered for capy-riglU under Act XXV. of 1867 ). ]]©ombay. GOVERNMENT CENTRAL BOOK DEPOT. 1901. [All rights reserved]. Price 12 Rupees. = । • • • • • • • • • • • • • : :-: ...





( प्रथमभागात्मकं षष्ठाध्यायपर्यन्तम् )

स्वर्गवासिमहाशयध्रुवोपपदेन हर्षदरायात्मजेन हरिलालेन



प्राणशंकरसूनुना कमलाशंकरेण संशोधितं

स्वनिर्मिताङ्ग्लभाषाभूमिकाटिप्पणीभ्यां च समुपेतम् ।



‘निर्णयसागर'आख्यमुद्रणयन्त्रालये मुद्रयित्वा

शाके १८२३ वत्सरे १९०१ ख्रिस्ताब्दे प्राकाश्यं नीतम् ।

प्रथमा आवृत्तिः

मूल्यं द्वादश रूपकाः

456405 इदं पुस्तकं मोहमय्यां निर्णयसागराख्ये मुद्रणालये मुद्रितम् ।


आस्ताविकपद्यानि १-२

एकविंशतितमक्षेत्रम् - २७
प्रकारान्तरम् २७-९
प्रथमोऽध्यायः तमक्षत्रम् २९-३०
८- ९ त्रयोविंशतितमक्षेत्रम् ३१
९-१० त्रम् १-२
१०-१ पञ्चविंशतितमक्षेत्रम् ३३
११-२ प्रकारान्तरम् ३३
१२ षविंशतितमक्षेत्रम् ३४-५
१३ प्रकारान्तरम् ३५
१३-४ सप्तविंशतितमक्षेत्रम् ६५-६
१४-१ अष्टाविंशतितमक्षेत्रम् ३६-७
१५-६ एकोनत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ३७-४९
१६ अस्योपपतिज्ञापकक्षेत्राणि
१६-७ ३७
१७ द्वितीयक्षेत्रम् ३७-८
१७-८ तृतीयक्षेत्रम् ३८-४०
१८-९ चतुर्थक्षेत्रम् ४०-१
१९ ४१-२
२०-१ सप्तमक्षेत्रम् ४३-५
२२-३ । सप्तमक्षेत्रस्याथौप्रकाराः
षष्ठः प्रकारः ४५-६
२३-४ सप्तमः प्रकारः
२४ अष्टमः प्रकारः ४७-८
२५ एकोनत्रिंशत्तमक्षेत्रम्
२५-६ | त्रिंशत्तमक्षेत्रम् ४९-५०
२६ एकत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५०


+ + + • • • • • • • S = S a a ८३ ८४-५ ८५ ८५-७ ८७-९ ८८-९ ८९-९१ द्वात्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५०-१ । षष्ठक्षेत्रम् ५१ प्रकारान्तरम् त्रयस्त्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५१-२ ५२ चतुर्विंशत्तमक्षेत्रम् ५२-३ | अष्टमक्षेत्रम् ५३ प्रकारान्तरम् पञ्चत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५३-४ | नवमक्षेत्रम् षत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५४-५ सप्तत्रिंशतमक्षेत्रम् ५५ अष्टत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ५५-६ प्रकारान्तरम् एकोनचत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ५६ चत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ५६-७ प्रकारान्तरम् एकचत्वा ५७ द्वादशक्षेत्रम् ५७-८ त्रयश्चत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ५८-९ चतुर्दशक्षेत्रम् चतुश्चत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ५९ प्रकारान्तरम् पञ्चचत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ६० | तृतीयोऽध्यायः षट्चत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् प्रथमक्षेत्रम् सप्तचत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ६१-७८ प्रकारान्तराणि सप्तदश ६२-७८ अष्टचत्वारिंशत्तमक्षेत्रम् ७८ द्वितीयोऽध्यायः ७९-९३ चतुर्थक्षेत्रम् ९१ ९१ ९१-२ ९२-३ १ ९४-१२६ 9B ९४ ९५ ९५ ९६ ९७ ७९ अकारान्तरम् पञ्चमक्षेत्रम्

द्वितीयक्षेत्रम् ७९-८० ९८ प्रकारान्तरम् ८० षष्ठक्षेत्रम् सप्तमक्षेत्रम् तृतीयक्षेत्रम् ८० ९८-९ ८१ ९९-१० २ ८१-२ प्रकारान्तरम् १०१-२ चतुर्यक्षेत्रम् प्रकारान्तरम् पञ्चमक्षेत्रम् ८२-३ १०२-३ १०३ १०३-४ प्रकारान्तरम् 9D प्रकारान्तरम् त्रयोदशक्षेत्रम् प्रकारान्तरम् पृष्ठ. १०३-४ । त्रयत्रिंशत्तमक्षेत्रम् १२१-२ १०४ चतुस्त्रिंशत्तमक्षेत्रम् १२२-४ पञ्चत्रिंशत्तमक्षेत्रम् १२४-५ १०५ षत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ११५-६ १२६ १०५-६ | चतुर्थोऽध्यायः १२७-४३ १०६ प्रथमक्षेत्रम् १०७-८ प्रकारान्तरम् द्वितीयक्षेत्रम् १०८९ तृतीयक्षेत्रम् १२८-३० १०९-१ १२७ } 9D १२८ प्रकारान्तरम् १२९-३० १३० १३१ १३१-२ १११ १३ २ 9B १३३ ११ ११०-११ | पञ्चमक्षेत्रम् प्रकारान्तरम् षष्ठक्षेत्रम् प्रकारान्तरम् एकोनविंशतितमक्षेत्रम् १११-२ । सप्तमक्षेत्रम् ११२ अष्टमक्षेत्रम् एकविंशतितमक्षेत्रम् ११३ द्वाविंशतितमक्षेत्रम् दशमक्षेत्रम् त्रयोविंशतितमक्षेत्रम् ११३-४ प्रकारान्तरम् चतुर्विशततमक्षेत्रम् ११४-५ । एकादशक्षेत्रम् पञ्चविंशतितमक्षेत्रम् .११५ षविंशतितमक्षेत्रम् ११५-६ । द्वादशक्षेत्रम् सप्तविंशतितमक्षेत्रम् ११६ ॥ अष्टाविंशतितमक्षेत्रम् ११६-७ । योदशक्षेत्रम् एकोनत्रिंशत्तमक्षेत्रम् ११७ ११ ७-८ चतुर्दशक्षेत्रम् १३३-५ १३४-५ १३५-७ १३६-७ १३७-८ १३८-४१ १३९-४१ १४१-२ प्रकारान्तरम् ११८-९ एशतमक्षेत्रम् ११९-२ १४२ १४२-३ प्रकारान्तरम् १२ द्वात्रिंशत्तमक्षेत्रम् १२०-२१ ' पञ्चमोऽध्यायः १४४-७१ १४४-५ | परिभाषा १७१ १४६ १७१-३ १७२-३ १४६-७ प्रथमक्षेत्रम् द्वितीयक्षेत्रम् तृतीयक्षेत्रम् चतुर्थक्षेत्रम् १४७-८ १७३-४ १४८ १७४ १४९ तृतीयक्षेत्रम् १७४-६ ।। १४९-५ १७६ १५०-१ १७६-७ अष्टमक्षेत्रम् १५१-२ १७७ १७८-९ १५२-३ - पवमक्षेत्रम् १५३-४ दशमक्षेत्रम् १) १५४-५ १७९-८० १५५-६ | प्रकारान्तरम् १५६ -७ । सप्तमक्षेत्रम् १५७-८ / १८०-१ चतुर्दशक्षेत्रम् १८१-२ १८२-३ पञ्चदशक्षेत्रम् १५८ प्रकारान्तरम् १५८-९ १८३-४ सप्तदशक्षेत्रम् १५९-६१ १६१ १८४-५ १६१-२ १८५ १ ८५-६ १ १८७ १६२ द्वादशक्षेत्रम् एकोनविंशतितमक्षेत्रम् १६२-६३ ! प्रकारान्तरम् विंशतितमक्षेत्रम् १६३-४ | त्रयोदशाक्षेत्रम् १८ ६-७ प्रकारान्तरम् १६४ चतुर्दशक्षेत्रम् एकविंशतितमक्षेत्रम् १६४ -५ ५ पञ्चदशीक्षेत्रम् १८८-९ द्वाविंशतितमक्षेत्रम् १६५-७ / प्रकारान्तरम् १६६-७ । षोडशक्षेत्रम् १८९-१० त्रयोविंशतितमक्षेत्रम् । १६७-८ १ सप्तदशक्षेत्रम् १९ चतुर्विंशतितमक्षेत्रम् १६८-९ } अष्टादशक्षेत्रम् १९१-२ पञ्चविंशतितमक्षेत्रम् १६९-७० | प्रकारान्तरम् षष्ठोऽध्यायः १७१-२०६ ) एकोनविंशतितमक्षेत्रम् १९२ १ D NoS विंशतितमक्षेत्रम् १९३ Book I. 1- 64 एकविंशतितमक्षेत्रम् , Book II. 65- 72 द्वाविंशतितमक्षेत्रम् १९३-४ | Book III. 18- 88 त्रयोविंशतितमक्षेत्रम् १९५ Book I. 89-100 चतुर्विंशतितमक्षेत्रम् Book V. 101-2 पञ्चविंशतितमक्षेत्रम् १९६ Book VI. 108-1 118 षविंशतितमक्षेत्रम् १५६-७ | Appendir containing the सप्तविंशतितमक्षेत्रम् १९७-८ | of V119 readings . -141 आविंशतितमक्षेत्रम् १९८-९९ | Errata. 148-144 । एकोनत्रिंशत्तमक्षेत्रम् १९९-१०१ प्रकारान्तरम् २००-२०१ त्रिंशत्तमक्षेत्रम् २०१-२ एकत्रिंशत्तमक्षेत्रम् २०२-३ प्रकारान्तरम् २०३ द्वात्रिंशत्तमक्षेत्रम् २० ३-५ अकारान्तरम् २०-५ त्रयस्त्रिंशत्तमक्षेत्रम् २०५-६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७ Critical Notice of the Manuscripts of the Bekhliganita. The edition of the Bekh&ganita was nndertaken for the Bombay Sanskrit Series by the late Mr. Haril&l Harahadar&i Dhmva R A., L L. R, D. L. A. ( Sweden), M. R A. S. (London and Bombay ), M. P. T. S., &;a, Ac, City Joint Judge and Ses- rions Judge, Baro^ He read a paper on the Bekhdganita at the Yin. International Congress of Orientalists, Stockholm and Christiania, which he attended as a Pandit Representative Delegate of His Highness, the MahSjrdjft Sly&ji B&o GAekw&d of Barodlb He intended to publish the work in three volumes, the first volume to contain the text, the second to contain the English notes, and the third to contain Varice Lectionea. The matter for the 1st Volume was sent to the Curator, Qovemment Central Book Depdt, Bombay, for publication and it was entrusted to the Nirnayas&gar Press. But the press returned it to the author, as the figures for Propositions were in most cases wanting. The manuscript thus returned remained with him till his death. It is a matter of great sorrow that the eminent scholar was not spared by Providence to finish the work he began very zealously. The manuscript, that was sent to the press and was returned for want of figures, was handed over to me by Mr. Dhruva's widow. I took it up and thought that the work would be soon ready as figures alone were wanting. To my great surprise, however, I found that it was a copy of a single manuscript The copy was made by a S'Astri of Amreli inKAthiiwftd. '^^ I ^nnch^ umi I s^ ^Ijin^ I ^mc l^^t is what is found at the end of the manuscript. On exa- mining it minutely I found that it was incorrect on almost every page of it It was now evident that I had not simply to supply figures, but to settle the text as «  • • well Thereupon I asked Mr. Dhruva's widow if she had any other manuscripts <^ the work with her, and she handed over to me two manuscripts. One of these breaks up at the end of the fifth book and is without figures. The second has figures here and there ; but they are in most cases incorrect and without letters. This manuscript is also incom- plete. It goes almost to the end of the third book and then begins with the 15th proposition of the tenth book and comes up to the end of the work. Thus neither of the two manu- scripts was of great use to me. I then secured other manu- scripts of the work and two very valuable editions of Euclid from England and settled the text and the figures with the help of these. It is thus clear that Mr. I^ruva did not live to do anything more than get a manuscript of the work copied by an Amreli S^&stil It is a matter of regret that the work did not get through his scholarly hands. The collation of Mss. from different parts of India to settle the text, the construction of figuresi the English notes, the Critical Notice of Manuscripts and the Introduction, all this being my work, the shorteom* ings of the present edition, whatever they may be, are wholly attributable to me. The present edition is based upon the following manuscripts : — ( I ) The copy of a manuscript, received firom Mr. Dhruva's widow. I suppose it is the same manuscript that Mr. Dhruva speaks of in his *Barod& State Delegate'. *'I owe it," says he, "to my firiend, B&o Bahadur. Justice Jan&rdan Sakh&r&m G&dgil, B. A., LL. B., F. T. S., of the High Court of Judicature, Barod& State, to be able to present this wOTk to the learned assembly here I can do no better than give in the words of Mr. Justice GMU%il himself how the manuscript of the work under notiee was brcMight to Ugbt. The original Ms. was found in the Libnoy of the late celebrated B&l Oangiirdhar S'&strt J&mbhekar by Ab& S'&stri Bakre. I got a copy made of the Ms.* — which original, kindly lent to me by the gentleman, I hold in my hand at present. Mr. Justice G&dgil's copy was made in Y. S. 1942 ( A. C. 1886 ). The date of the original Ms. now with me is Y. S. 1886 (A. D. 1830) Eartek ( Sans. Eartika) Sudi 5" in the wcHfds of the writer. The Ms. extends over 144 double pages and a portion more. Each single page contains 29 lines on an average and each line contains an average of 25 letters. The copy is written in bold beautiful Devan&garl characters, and the text contains some mistakes in writing " The geometrical figures for most of the propositions are very neatly drawn. I say most of the propositions, because for some of them, they are wanting ' This Ms. I have designated D. II. A Ms. obtained from Mr. Dhruva's widow. It begins with 'iAhoKfifV 5ro: I ^^1gn<m i ^' ?*mPRr few* V- This is the Ms. of which Mr. Dhruva says, "It is to Pandit Durgaprasiula's find that we owe the discovery of Euclid, being the original author, whose Elements of Geometry Jagann&tha Samra^ translated. One of the Ms& lent to me by the Pandit has at the beginning a note thus, 'vnj^iftf^rm t^HlfiRr ftw^»."* It is an incomplete Ma It goes on regularly till about the end of the Third Book. The last line of the Ms. on page 66 is ^sraf- vnk ir^^w iraftw #ftwT s'HEH^isra^ Bwrf^H^iiWts'- Up to page 66 no page is wanting and all the pages are correctly numbered After this page, there is a long gap and though the next page is numbered 67, it begins with the last portion of jacopoBition 14, Book X. The first line on the page is, '915- fifMr ^ V^ q^^plf . -^ter this the Ms. goes on regularly to the end* The pages are correctly numbered up to the 70th page. From the next page they are numbered afiresh, as one, two, three tic, and the last page is 65. The opening page of the M& has ^ 44lw(i>WW I^H '• Thus there are in all 135 pages. Figures are given in the first 66 pages, but most of them are incorrect. In the last 69 pages no figures are given in Book X., though a vacant space is left for eveiy figure, and the figures that are given here and there in the remaining books are quite incorrect The Ms. has the following colophon: —

  • Baxoda State Delegate p. vn. and VIII. शिल्पशमिदं प्रोकं आक्षणा विश्वकर्मणे

पारम्पर्यवशादेतदागतं धरणीतले । तदुच्छिी महाराज जयसिंहशया पुनः । प्रकाशितं मया सम्यङ् गणकानन्दहेतवे । मजाधिराजमघवरत्रयसिंहस्य सुष्टयै द्विजेन्द्रः भीमसञ्चाङ्गशाथ इति समभिधारूढितेन प्रणीते । प्रम्येऽस्मिन् नासेि रेलगणित इति सुकोणावबोधप्रदात र्यध्यायोध्येतृमोहापह इह विरतिं घनसंख्यो गतोऽभूत् ॥' This Me is designated A. It is not quite correct. IIIL This is the other MeI got from Mr. Dhruvas widow It is a very neat and correct Ms, but it is incomplete. It goes to the end of the Fifth Book. It has no figures. It consists of 85 double pages and has ten lines on each page. This is probably bhe Ms, of which Sastri Durgaprasada Dviveda, Professor, Sanskrit College, Jeypore, wrote to me as follows in reply to my letter to him requesting him for a loan of a Ms of the work ‘श्रीमत्सु विविधविचाविशारवेद्य सनमस्कृति कुशलवन्तं चेदं कृतघातं वि निवेद्यते—चिराधिगतं यौष्माकीर्ण लेखरवसधिगत्य भूयानानन्दः श्रादुरभूत् । सद्यः साफल्यमधिगच्छतां भवदीयोऽयं विश्वजनीनो रेखागणितसंस्करणव्यापा रभरः। इहाविभृयापि तत् पुस्तकं तिरोभावमधिश्रयदिव दृश्यते । यतो यतो गवेषणे विहितेऽपि सकलप्रयोजनप्रयोजकं सत्राक्कृति पुस्तकं नोपलभ्यते । उपलभ्यमानाम्यपि द्वित्राणि पुस्तकानि शुद्धिराहित्यादिवाकान्ततया न कार्य निर्वाहकाणि । प्रथमं तावन्मदीयपुस्तकं ( यस्य प्रारम्भतः पज्ञा अध्याया भव- दन्तिके सन्)ि झुडप्रायमपि क्षेत्रविकलमास्ते । द्वितीयं राजकीयं पूर्वपुस्तक मातृकम् । तृतीयं मच्छात्रस्य निकटे वर्तते तन्नियमातृकमपि न स्पृहणीयम् । एतस्य पुस्तकत्रय्यामप्याकृतयो नासते किं तु मद्भ्यर्थे कतिपयाध्यायानामा- कृतयो याथातथ्यगुणानाक्रान्ता वर्तन्ते । तदाकृतियुस्तकमपि पझमाध्यायाव सानकं पुरा स्वर्गवासिनो ध्रुवस्य निकटे प्रहितम् । तत्र रेलगाणितपुस्तकेन सह अवान्तिकमधिगतं भवेत् । This Ms. is designated B. I. The fourth Mscollated for the present edition belonge to bhe Government Sanskrit College, Benares, and was kindly The letter is given in full to shew how difficult it is to secure a correct and complete Msof the work even from Jeypore, the place of its birth. lent to me by Mr. Arthur Venis, M. A., Principal of the College. In reply to my letter of bhe 18bh December 1898 he was good enough to send me the Ms on the 24ah idem. The note on the Ma, in bhe College Library is रेखागणितं पण्डितराजयगाथविर चितमेकपुटकारमकं संपूर्ण The Ms, begins as follows :- श्रीगणेशाय नमः । श्रीशारदायै नमः । श्रीगुरवे नमः । ओं सिद्धिः । गजाननं गणाधिपं सुरासुरार्चितं सदा। समस्तभक्तकामदं शिवामृतं सुखप्रदम् ॥ वितण्डचण्डयोगिनीसमाजमध्यवर्तिनम् । समस्तभूतिभूषितं नमामि विन्नवारणम् ॥ क्षमीनृसिंह &c. The verses dedicated to Ganesa are bhus in this Mcin a different form. It is a complete Ms. in a book form on counthry-paper, and appears to be old as many pages are eaten by white ants on the border. Though the ls, is incorrect, does not contain all the figures and those that are given are inaccurate, particularly in the latter portion, still it as of great use to me in filling up the omission of lines on many pages in MrDhruva's Ms. sent to bhe press. The Principal was kind enough to allow me to keep it with me for a long time and I returned it to him on the 29h March 1901 after bhe whole text of my first volume and a part of bhe second volume were printed off This Msis designated K. V. The fifth Mawas obtained from Eis Eighness, the Maharaj&'s Sanskrit College, Trivandrum, through my friend Prof. S. Radhakrishna Aiyar B. A., F. M. U, Principal of His Highness the Maharaj&'s CollegePudukota. This is a very neat Ms in a book-form. But on comparing it with the above Ma, I found it an eact copy of it. It was not therefore of use for collation. It contains a few figures not found in the Benares Mic VIL. Having learnt that there was a complete Ms. of the work in bhe library of His Highness, bhe Maharaja of Kashmir, deposited in bhe Raghunabha Temple, I applied to Dr. M. A. Stein, M. A., late Principal of the Oriental College, LAhore, for a loan of it and received the following reply from him :I have duly received your letter of 26h ult ( e. November 1888) concerning the loan of the Jammu Msof the Rekha. gapita which you desire to collate. Your name and work are well known to me and it would be a pleasure to me to assist you in the scientific task you have undertaken in bhe place of the late Mr. Dhruva. The Raghunatha temple Library of H. H. bhe Maharjof Jammu is not under my control, bhough the cataloguing of its Sanskrit Mes. has been prepared and published by me (Bombay 1894). I am not authorized to arrange for the loan of Mass. outside Jammu, though I myself am allowed to use works from the collection which was first arranged and cata- logued by me at Lahore. Certain Draft Rules regulating the loan of Mse, which were proposed with a view to facilitating access to the ibrary are still under consideration by the Durbar. I do not know whether and when they will be adopted. In the meantime I would recommend only two courses. You might ask the Director of Public Instruction, Bombay, to apply officially for the loan of the Msbhrough bhe Resident in Kashmir, Sialkotb. In this way alone bhere would be a chance of the Msbeing made available for your direct use. I hen adopted the course proposed in this letter, and the Hon. Mr. B. Giles M. A., Director of Public Instruction, was kind enough to apply to the Assistant Resident, Kashmir, for the loan of the Ms The Assistant Resident forwarded bhe correspondence to thhe Vice-President, Kashmir State Council, and the reply from him was bhat His Eighness expressed his inability to forward the original manuscript, but bhad a thrue copy could be furnished on payment of the pages of the copyist. Thuk, notwithstanding all the brouble so kind. ly taken by the Hon. MrGiles, bhe Mswas not made available for my direct use; and since I had to be satisfied with a copy, I did not think it advisable to get the copy of the whole s, as I learnt that it was incorrect and lacked figures like other Mes. of the work. I, however, got a true copy of 10%h, 11th and 12th Books, the text of which, it was the most difficult to seable, as the books are the hardest of the lot. Pandit Gaigadhara P. Gokulachandra of the Raghunabha Temple, Jammu, who was mentioned by Dr. Stein in his letter to me as the proper per son to get the work accurately copied, was then applied to and he was kind enough to secure me a copy of the 10th, 11th, and 12bh Adhyayas. This Me is designated J. VII. The last and bhe most important Ms. collated is an obher Me in the Library of Government Sanskrit College, Benares. My attention to it was drawn by Mahamahopkdhyaya Sudhakara Dvivedfs article on Pandit Jagannabha in his GanalkatarafinkI applied to the Principal of the College who wrote to me as follows in reply to my letter:- वाराणसीस्वराजकीयसंस्कृतपाठशालीयपुस्तकाख्ये वर्तमानं जगत्राथसन्ना- आमाझ्या लिखितं रेलगणितपुस्तकें तु स्वछत्रये खण्डितं जीर्णे च । एवं स्थितेऽप्यत्यन्तावश्यके कथति खण्डशो गन्तुमर्हति न त्वेकदा सवै पुस्तकमिति विभाज्य पुनरप्यपेदितखण्डविषयकं पत्रं देयं भवद्भिरिति ॥ I replied to the Principal:- बगाथसम्राजामाच्या लोकमणिना लेखकेन लिलिता रेखागणित पयुज्यतरों मम । I then received the whole Ms, park by part. It is a very im• portant MsIt was copied for King Jayasimha himself by his order by the scribe Lokamani in the Savath year 1784 (A. D. 1728), & e. very shortly after the work was composed. The colophon of the Ms. runs as under:- युगवसुनगभू (२०४६) वर्षे शुचिशुक्ले युगतिथौ रवेवरे । म्यतिशयोकमणिः किल सव्राजमाझ्या पुस्तम् । It is thus the oldest Mcbhat can be secured and I need not say bhat I had great satisfaction in securing it. It is wanting • Being copied by the orders of Samraj about the time bhe work was composed as the colophon shewa, it is probable, ny almost certain, that it was made under the order of Jagannatha Samraj or the King himself. Jayasimha must have ordered out Jagannabha Samrjhis protege, to supply him with a copy and Jagannaha, in his turn, must have directed Lokamani probably his pupil, to do the work. in a few pages. The remark on the last page clearly shews the pages that are wanting ‘एतानि न सन्ति ३३॥४६-५५६९-७८|१८८-२१९। द्वितीयं पत्रत्रयम् It contains 292 pages in all. It is a very correct Ms, and is nicely written in Devanagari characters. It contains all thhe figures very accurately drawn with letters distinctly marked. Having received it after bhe first nine books were printed of, I have given its earc€ ¢ections in the Appendix. From the 10th Book, they are put down in the footnotes along with those of other Mes. I had great satisfaction in finding bhat the text settled for this edition and the figures constructed by me corresponded with those in the MaUnfortunately the most important portion of bhe Ms, pages 188-219, dealing with the Tenth Book, Prop. 16 to Prop 101, is lostA few technical terms in the Fifth Book are in bhis Ms explained in the margin. The words used in explaining them are निहवति, मिक दार, इबदालि निसयति, तसँखाले निभवति, अरू निक्षबति, तर्क निसवति, कलये निपाति, and सुस्रवा निशसबति. These are Arabic words and bhe work being copied within a few years of its compilation, bhey go to support bhe theory of bhe work having an Arabic work as its original. The Msis desigmated V. The two books which were of great use to me in the con struction of some of bhe figures, particularly figures of the latter portion, were the well-known Gregorys edition of 1708 contain ing all the fifteen books in the Latin and the Greek and ob tained from England through my pupil, Mr. Triumbakrao Jadavrao Desai, Barrister at Law, and another excellent edition, published in London in 1570 by Mr H. Billingsley. It is the first thranslation into English of Euclid's work as its fible-page which runs as under shews The difficultby ot constructing figures will be understood, when it is borne in mind that most of the alternative proots given by Pandit JagannaBha are not found in any nglah edition, that many intermediate steps in the proots of Propositions are omitted, that no authorities are given and that the letters व and F occasion a deal of confusion on account of the creleasness of copyints. The Elements of Geometrie of the most auncient Philoso: pher vclide of Megara Faithfully (now first ) translated into the Englishe toung by H. Billingsley, citizen of London. Whereunto are annexed certaine scholies, annotations and inuentionsof the best mathematiciens, both of bime past, and in this our age. With a very fruithfull Preface made by M. J. Dee, specifying the chief mathematicall sci४ces, what they are and wherunto commodious : where, also, are disclosed certaine new secrets mathematicall and mechanicall untill these our daies greatly missed. Imprinted at London by John Daye. The Preface of MrDee bears the year 150. It has at its end Bhe remark •wribten at my poor house at Mortolake. Anno. 1570. February 9. The Tible-page is a beautiful one, having the ten pictures of Ptolomeus, Marinus, Arabus, Strabo, Hipparchus, Polibius, Geometria, Astronomia, Arithmetica and Musica and a motto yinere VireScit Veritas. This valuable work contains 16 books. In the introductory remarks on the fourteenth book, it is said bhat Apollonius was the first author of the book, which was afterwards set forth by Hypicles . Mr. Billingsley quotes from the Preface of Hypsicles to bhe 14th book in support of his statement, Basilides of Tire (sayth Hypsicles) and my father together, scanningand peyeing a writing or booke of Appollonius, which was of the comparison of a dodecadedron to an icosahedron inscribed in one and the selfe same sphere, and what proportion bhese figures had the one to the other, found that Apollonius had fayled in this matter. But afterward (sayth he) I found another copy or booke of Apollonius, wherein the demonstration of that matter was full and perfect and shewed it unto them, whereat they much rejoysed. By 10 which wordes it semeth to be manifest bhatt Apollonius was the first author of this booke, which was afterward set forth by Hypsicles. For so his own wordes after in the same preface seme to import6. " Billingeley gives the 14th book as set forth both by Hypsicles and Flussas, and the 15th book as get forth by Hypsicles and Campane and FlussasThe 16th book, which he says, is added by Flussas, contains 8 Proposi tions. Billingsleys edition of Euclid is a very important book. It is a big volume of 468 folios and was with great difficultby purchased from Mes£rs. Bernard Quaritch, 15 Piccadily, bhrough Mr Edward Seymore Hale of Bombay. This book was of great use to me in settling figures of Propositions of the 10th book which is the hardest of all, as it deals with incom mensurable quantities INTRODUCTION. THE bekhaganita: its oontents. • The Rekhaganita or the Science of Qeometry is a Sanskrit version of Euclid's Elements of Geometry by Samr&t Jagann&- tha under the orders of Jayasiffiha, king of Jeypore. It con- tains fifteen 'adh;&yas' or books. The first four and the sixth books are devoted to plane geometry and the fifth deals with the laws of proportion which are utilized in the sixth book. The contents of these books are well-known and therefore need no detailed account. The seventh^ eighth, and ninth books are purely arithmetical. As the subject-matter of the tenth book which treats of incommensurable quantities and of the eleventh and the succeeding books which are concerned with solid geometry cannot be dear unless the theory of numbers is ex- plained, the intermediate three books, the seventh, eighth, and ninth, are devoted to the elucidation of the principles of numbers. A number ( nr ) is defined as a multitude com- posed of units (j^y Numbers are divided into even (jm) ^^^ <^d ( fi^nf ). Even numbers are subdivided into evenly-even (fTH^nr) Ai^d evenly-odd (f|i|ftM4<) » Evenly^even numbers are those which, when divided by an even number, have an even quotient, as 8. Evenly-odd numbers are those which, on being divided by an even number, give an odd quotient^ as 6. Odd numbers may be oddly-odd (ft ^ ii|fi|f|4j) , when they have an odd quotient, on being divided by an odd number, as 9. Numbers are further divided into prime numbers ( snnvnF )} and compo- site numbers (irinilF)^ and into commensurable (ftr%9}> and incommensurable ( f^ ). A number produced by the product of two numbers, the multiplier (ipiv) &nd the mul- tiplicand (g«i|), is a plane or superficial number ( jhre^), the two numbers ( jpnf and ijmip ) being called its sides or arms ( ^ )• A superficial number, multiplied by a number, becomes a cube number (^pn;^). The product of a number by itself is a square number ( W^Aff )> and a number, multi- plied by its square^ becomes a cube number (9«n|F)* Numbers 12 are further defined as proportional ( सजातीय), when the second is the same multiple of bhe first as the fourth is of the third. Like plane numbers ( सजातीयक्षेत्रफळ ) and like cube numbers ( सजातीयधनफछ) are those which have bheir sides proportional. Finally a perfect number ( पूर्णा) is one which is equal to the sum of all its aliquot parts, as 6.* The Seventh Book demonstra tes in general the most common properties of numbers, chiefly of prime and composite numbers, and partly treats of the compa rison of one number with another. The enunciations of a few propositions will make this clear.+ 'If of two numbers the less is continually taken from the greater until unity is left, the two numbers are incommensurable or prime to one another.' To find the greatest common measure of two or more quantities. small quantity is a part of a large quantity or of its multiple. If two quantities be the same part of two other quantities, the sum of the first two shall be the same part of the sum of the other two.' + If from two number two other numbers in the same radio be taken, the remainders shall be in bhe same ratio. The product of the multiplicand by the multiplier is bhe same as bhat of the multiplier by the multiplicand.If bhere are small numbers in a certain ratio, sueh that smaller numbers in the same ratio cannot be found, then these numbers shall be prime to one another' * If a certain number is prime to another, its square also shall be prime to it' + If two numbers are incommensurable, their squares as well as bheir cubes shall also be incommensurable. < To find the least common multiple of two or more numbers.’ ‘To find the least common multiple which can be measured by many factions'+ The book contains 89 propositionsThe plane and solid numbers, their sides and proportion, the properties of square and cube numbers, the natures and conditions of their sides, and the mean proportional numbers of plane, solid, square, and cube numbers form mainly the subject of bhe

  • The aliquot parts oft 6 are 1, 2 and 3 and these together make up the

number, 6. The numbers to whion this properdy belongs are 6;28;B6;8128; 33,560,336; 8,589,869,056; 187488,691,3928; and 2805848,008,189,952,123. All pertect numbers terminate with a or 28. Vide Chambers' 'Popular Educator.' + Props, 1, 2 and 3, 4, 5, 7, 16, 21, 25, 2, 34 and 86, and 88 respectively, Book VII. 18 ightbh Book To elucidate this a few propositions may be en nciated. If in a certain series of numbers in a certain ratio, the first and the last are incommensurable, then these are the lowest numbers in the series in the same ratio.’ ‘To find the lowest numbers in a certain ratio. The ratio of a plane or superficial number with another plane number shall be the product of the radios of the sides of those plane numbers' + If in a certain series in a certain ratio, the first number measures the last number, then the first number shall also measure she second number .' * If there are two square numbers and if there is a mean proportional number between thembhe ratio of the square numbers to one another shall be equal to the square of the ratio of the sides of the square numbers.' + The squares and cubes of those numbers which are in a certain radio shall also be in the same ratio.

  • If a number falls between two numberE, and if bhe

three numbers are in the same ratio, bhen the two num bers shall be like plane numbers' If between two numbers there fal WO other numbers so that the four numbers are in the same ratio, then the bwo numberg (between which two obher numbers fall) shall be like solid numbers. १If three numbers be in one ratio, and if the first be a square number, the third shall also be a square number'. If four numbers are in one ratio and if the first be a cube number, the fourth shall also be a cube number. ' + Two like plane numbers are in bhe ratio of their squares.' + Two like solid numbers are in the ratio of their cubes'* There are in all 27 propositions in this book. The Ninth Bcok continues the treatment of square and cube numbers, takes up odd and even numberE, not hitherto dealt with, and treats of their properties, as the follow: ing enunciations of some of the propositions will show. The product of two like plane number is a square number ' / 'The square of a cube number is a cube number. The product of bwo cubes shall be a cube. A composite number, multiplied by a certain number, becomes a solid number . If in a series beginning with unity, there be numbers in the same continual

  • Props. 1, 2, 5, 7, 11, 18, 18, 18, 20, 21, 26, and I respectively, Book III 14

proportion, the third number from unity is a square number and so are all forward, leaving one between, the fourth number from unity is a cube number and so are all forward, leaving bwo between, and the seventh number from unity is both a square and a cube and so are all forward, leaving five between. If the given prime numbers measure a certain least number, no other prime number shall measure that least number. If bhree least numbers be in the same ratio, then the sum of any two of them shall be incommensurable with the third.' + If there be two incommensurable numbers other than unity, there shall be no bhird number in the ratio of these two.' To find a bhird number in bhe ratio of two number, if possible.' * To find a fourth number in the ratio of three numbers, if possible

  • The sum of any number of even numbers shall be even.

• The sum of an even number of odd numbers shall be even. 'The sum of an odd number of odd numbers shall be odd.

  • If an even number be taken from an even number. the re

mainder shall be an even number .' + If an odd number be taken from an even number, the remainder shall be an odd number. If an even number be taken from an odd number the remainder shall be an odd number .' * If an odd number be taken from an odd number, the remainder shall be an even number.' & 'The product of an odd number and an even number shall be an even number. ' The product of two odd numbers is odd.' * An odd number measures an odd number with an odd quotient. • Numbers beginning with two in which each succeeding number is double of the preceding number shall be evenly even’ A number whose half is an odd number is an evenly odd number. The number, which is not in the series beginning with two in which each succeed- ing number is double bhe preceding one and of which the half is not an odd number, is evenly-even and also evonly-odd. f In a series of numbers beginning with unity, in which each suc ceeding number is double of the prece one, if the sum of Bhe terms be a prime number, then the product of this sum and the last number shall be a perfect number.* The book

  • tProps, 1, 3, 4, 7, 8, 15, 16, 17, 18, 2021, 2, 23, 4, 25, 28, 2, 28, 29, 31,

84, 35, 86 and 88, Book x. 15 r comprises 88 propositions. The Tenbh Book, which is generally considered as the hardest of all the books to understand, threats of lines and other magnitudes rational and irrational, but parti cularly of irrational magnitudes commensurable and incom. mensurable. Magnitudes (e. e. lines, superficies and solids ) are called मिलित or commensurable, if they have a common measure and are भिन्न or incommensurable if they can not be measured by a common measure. If the squares of lines can be measured by the self-same area, the lines are commensurable in power, and the lines whose squares are not measurable by the same area are or incommensurable in power. If there is a line supposed and laid before uB, of any length we please, if this line thus first set forth is imagined to have such divisions and so many parts as we list, 3, 4, 5 and so forth, which may be applied to any kind of measure, inches, feet and such others, and if to bhis line thus first supposed and set forth be compared a number of lines, some of these will be commensurable and some incommensurable : and of com mensurable lines some will be commensurable both in length and power and some commensurable in power only; and of incommensurable lines some will be incommensurable in length and some incommensurable both in power and length. The first line so set, to which and to the squares of which other lines and squares are compared, is called a ra tional line ( अकसंशईरेला ). Lines which are commensurable to this line, whether in length and power or in power only, are also rational; the square which is described on the rational right line supposed is rational; and the squares which are commensurable to this square are also rational. Thus the line which is first supposed and set forth, the lines which are commensurable to it, the square on it, and such superficies as are commensurable to the square are all rational and constitute what is called मूलदराशि. The rational line is the basis of most of bhe propositions of the tenth book from the tenth proposi. 'he line which is incommensurable to the first line sup and set forth, the superficies which is incommensurable to the square (& e. the square described on the rational line and the line the square of which shall be equal to bhat superf. 16 cies are called irrational (करणी ). These irrational lines and figures are the chief subject of the tenth book. They are divided into many classes of which 18 are bhe chief. They are as follows:- I. A medial line (मध्यरेखा ) is defined in Prop. 1. A rectangle which has its sides commensurable in power only shall be irrational and is called a medial superficies. The line bhe equare of which is equal to bhis figure is irrational and is called a media lineThus a medial line is an irrational line of which the square equals a rectangle contained by two re tional lines commensurable in power only. Propositions from 1 to 35 threat of the properties of medial line. It will be enough to note a few of these to shew bheir nature. *« A line commensurable to a media ine shall also be a medial line.'

  • The difference between two medial superficies is irrationa.

To find out two medial lines commensurable in power only, containing in power a rational or a medial superf« cles. To find out two medial lines incommensurable in power the squares of which, added together, make a medial superficies and twice the rectangle of which is national.* II. A binomial line(बोगरे) is the next irrational line. It is treated first in Prop. 38. If the lines which are com mensurable in power only be added together, bhe line so formed shall be irrational and is called a binomial line. Thus a binomial line is an irrational line composed of two rational lines commensurable in power only. It is made up of two parts or names, of which one is greater than the other. The equare of one part is therefore greater bhan that of the other. This line is divided into six classes, ४%8, the first binomial line (प्रथम योगरेखा ), the second binomial line (द्वितीय योगरे) and so forth. The first three binomial lines (प्रथम द्वितीय and तृतीय are formed when the square of the greater line exceeds that of the less by the square of a line which is com mensurable in length to it, viz., bhe greater ; and the last three kinds of binomial lines (चतुर्थ, पक्षम, and षष्ठ योगरेला ) are formed when bhe square of the greater part exceeds the square of Propa 19, 20, 2, and Bl apectively. 17 the less by bhe square of a line incommensurable in length to it, ., to the greater part. Propositions from 45 to 50 show how these lines are found out III. A first birmedial line ( प्रथममभ्ययोगोरेख ) is defined in Prop. 37 as an irrational line composed of two medial lines, commensurable in power only, containing a rational superficies, IV. A second bimedial line (द्वितीयमवयोगरे) is an irra tional ine composed of two medial lines, commensurable in power only and containing a medial superficies Prop88 teaches how to form this line. . A greater line (अधिकरेला ), which is taught in Prop. 88, is an irrational line composed of two lines which are incommen surable in power, she squarsof which, taken together, make a rational superficies and twice the rectangle contained by which makes a medial superficies. VIL A line containing in power a national and a media superficies (करणीगता अस्या श्वोऽस्ति) is next taken up in Prop. 40. It is an irrational line composed of two lines which are incommensurable in power, bhe squares of which added together make a medial superficies, but the superficies which they contain is rational. VIL A line containing in power two medial superficies (करणीगता कस्बा बर्गा सध्यरेखाद्वयवयोगतुल्यो भवति ) is an ira tional line composed of two lines which are inconmensurable in power, the squares of which added together make a medial superficies, but the superficies which they contain is me. dial, incommensurable to that which is composed of the two squares added together. This line is taught in Prop. 41. Propositions 42 to 69 deal with bhe properties of the above lines. The next line taken up is VIII. The residual line (अन्तररेखा ). 'The metbhod of form ing bhe line is taught in Prop. 70. It is an irrational line which is left when from a rational line given is taken a ra ion line commensurable to the whole in power only. 18 Like a binomial line it has also six varieties. The first three kinds (प्रथम, द्वितीय, and तृतीय अन्तररेखा) are formed when bhe square of the whole line made up of the residual line and bhe line joined to it exceeds the square of the line joined by bhe square of a line commensurable to it in length; and the last three kinds (चतुर्थ, पक्षम and षष्ठ अन्तररेखा ) are formed when the square of the whole line made up of the residual line and bhe line joined to it exceeds the square of the line joined by the square of a line incommensurable to it in length. Propositions 82 to 87 teach how to find these lines. IX. A first medial residual line (प्रथममभ्यान्तररेखा ) is an irrational line which remainswhen from a medial ine is taken away a medial line commensurable to the whole in power only and the part taken away and the whole line contain a rational superficies Proposition 7 deals with it. X. The next proposition treats of the second medial residual line ( द्वितीयमध्यान्तररेला ) which is an irrational line which re, mainswhen from a medial line is taken a medial line commensurable to bhe whole in power only and the part taken and the whole line contain a medial superficies XLL A less line (न्यूनरेखा ), taught in Prop. 8, is an irrational line which remain, when from a right line is taken a line incommensurable in power, the square of the whole line and the square of the park taken together make a ra @ional superficies, and twice the rectangle contained by them makes a medial superficies XII. A line making with a rational superficies the whole superficies medial ( ) is an irrational line which remains, when from a right line is taken a right line incommensurable in power to the whole line and bhe square of the whole line and of the part taken together make a medial superficies and twice the rectangle contained by them is ra tional. This is treated of in Prop. 7. XIII. The last irrational line is taken up in bhe next Prop. (78). It is a line making with a medial superficies the whole superficies medial (मध्ययोगजमध्यरेख). It is an irrational 19 line which remains, when from a right line is taken a right line incommensurable to it in power, the squares of the whole line and of the part taken together make a medial superficies, and twice he rectangle contained by them makes up a medial superficies incomnmensurable to the first medial superficies. The Tenth Book is the longest of the elements and contains in all 109 propositions. Thus in the first ten books is taught whatever is requisite and necessary to the knowledge of all superficial figures of any Bort whatever. The remaining books are concerned with solid figures (घनक्षेत्र), such as cubes. cones ( शकुछ ), Pyramids सूचीफलकघनक्षे ), cylinders (समतलमस्तकपरिधिरूपशकुघन समतलमस्तकशङ्कुक्षेत्र ), prisms (छेदितघनक्षेत्र ), spheres (गोलक्षेत्र ) and parallelepipeds ( समानान्तरधरातलघनक्षेत्र or घनहस्तक्षेत्र ). The eleventh book contains 41 propositions and propositions, 24th to bhe end, threat of the properties of parallelepipeds. or The Twelfth Book sets forth the properties of pyramids prisms, cones, cylinders and spheres, and compares pyramids to pyramids and prisms Likewise are compared cones, cy- linders and sphere8; and to prove the properties of these bodies it is first established that like polygons inscribed in circles and bhe circles themselves are to one another as the squares of their diameters. The enunciations of a few propositions will clearly shew bhe nature of the book.* Every pyramid having a briangle as its base may be divided into four parts, of which two are equal and similar pyramids and the other two are equal prisms greater than half the whole pyramid' Pyramids having tri angles as their bases and of the same altitude are to one an other as their bases.' + Every prism can be divided into three equal pyramids having briangles as their bases.’ ‘ If two py ramids having triangles as their bases be similar, they shall be in the treble ratio of that which their like sides have. A cone is a third part of a cylinder having the same base and altitude with it.' ‘ Like cylinders and cones are in bhe treble ratio of bhat in which the diameters of their circles (bases) are.' 'Spheres • Props. 3, 5, 6, 8, 9, 10, and 15, Book XII. 20 are in the threble ratio of that in which their diameters are.' There are in all 15 propositions in the book. The Thirteenth Book teaches the most wonderful properties of a line divided by an extreme and mean proportion, the com. position of the five regular solids, a tetrahedron, a cube, an octo hedron, an icosahedron, adodecadedron (चतुष्फलकक्षऊघनहc, आ ऽफलतघनक्षेत्र, विंशतिफलकयुतत्र समभुजद्वादशकक्षेत्र respectively), bhe method of inscribing bhem in a sphere and a comparison of bhe solids to one another and to the sphere in which they are inscribed. The book contains 21 proposition The Fourteenthh Book which comprises ten propositions treats of the comparison and proportion of the five regular solids. The Fifteenth Book, which is the last book in our text, deals with the inscription of the five regular bodies within one another. It teaches how to inscribe an equilateral cone in a cube, an octohedron in an equilateral cone, or in a cube, a cube in an octohedron, and a dodecadedron in an icosahedron. The striking features of the Rekhanita Having thus given a resume of the contents of the Rekha. gapita, let me next point out the stariking features of the work as compared to English editions of Duclid. 1. Definitions, Postulates, and Axioms are called परिभाषा or 'Zerminology. 2. Axioms are given before Postulates and bhe last three Axioms are placed atter the Postulates. 8. The Twelfth Axiom has a simpler form. It is defined as follows:- If two straight lines which are not parallel be produced in the direction in which bhe distance between them is greater, bhe further bhey are produced, the greater the distance between them; while if they are produced in the direction in which the distance is less, the further they are produced, the less the distance between them till at length the two straight lines meet together, and then the distance between them goes on increasing. 21 4 This form of the 12th Axiom necessitates the introduc tion of the following propositions preliminary to the 20th Pro position of the First Book:- (I) Of all the straight lines that can be drawn from a given point on a given braight line, the perpendicular is the shortest. (2) The hine joining the free extremities of bwo equal per pendiculars to a given straight line makes equal angles with the perpendiculars. (B) The line joining bhe free extremities of two equal per- pendiculars to a given straight line makes right angles with the perpendiculars. (4) The opposite sides of a rectangle are equal. (5) If two perpendiculars be drawn to a line and a straight line be drawn across the perpendiculars, of the four angles made by the line with each perpendicular, the alternate angles shall be equal, the exterior angle shall be equal to the interior and opposite angle upon the same side of the line and the two interior angles upon bhe same side of the line shall be together equal to #wo right angles (6) If the four angles formed by the intersection of two lines be not right angles, then a perpendicular on one of bhe lines shall meet the other line in the direction of the acute angle. (7) If a straight line falls upon two other straight lines and if the interior angles on one side are less than two right angles, then the two straight lines shall meet in that direction only. 5. In the proof of propositions throughout the book, no authorities are given anywhere. For the sake of conciseness a few intermediate steps, which may be understood without being mentioned, are omitted. 22 6. Most of the propositions have one or nmore alternative proofs given for them. The following propositions have alter native proofs: Book I. 5, 9, 11, 1218, 20, 21, 24, 25, 26, 32, 83, 84, 47. Of these 18th and 20th Propositions have two alternative proofs: and Prop. 47th is proved in seventeen ways by describ ing squares in different waysIn each of these seventeen alter native proofs there are three diagrams caused by the equality and the inequality of the sides that contain the right angle. Book I 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14 Of these Propositions 9 and 10 have two alternative proofs. Book III. 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 30, 31, 83, 86. Prop. 30 has bhree alternative proofs. Book IV. 1, 2, 3, 6, 10, 11, 12, 13, 14. Propositions 10th and 13th have two alternative proofs. Book V. 14, 1, 18, 19, 20, 22. Proposition 22nd has two alternative proofs. Book VIL 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 29, 81, B2. Propositions 9 and 10 have two alternative proofs. Book VII. 7, 13, 28. Book X. 1, 1264, 65. Book XII. 9, 18. 28 Book XIII. 15.* 7. The number of propositions and their order in some Adhyayas is different. In Book III. our text has 86 propositions, propositions 11 and 12 being included in proposition 11 as under If two circles touch one another internally or externally, the athraight line which joins heir centers being produced shall pass through the point of contact' In Book . proposition8 12 and 18 in the Sanskrit text are found to be propositions 18 and 12 respectively in Bil.s edition. of 10 alternative proofs in all bhe books taken together, the following are exctio d Aberd':- Book Prop.20, 2, 34. Book III. Prop. 3, 4, 5, 10, 1l, I2, 18, 17. Book vtProp. 2, 4, 5, 6. Boo VII. Prop. 7, 28. The following are found in Bil. (I. 5 ), (I. 12 ), (I. 20 one alternative ), (I. 25), ( v1. 18). Book I. Prop. 11 is only a particular easo. Prop. 2 contains three cases . Prop. 25 gives the direct proof. Book II. Prop. 8 gives a common proof to Propositions ? and 8. Prop. 9 gives the direct proof fonnd in recent editions of Juclid. Prop. 30 gives the converse of the 1st part of the Proot. Book IV. Prop. I is the converse of Prop. I. 5 24 In Book VIbhe order of most of the propositions is different as below: - Rekhxgapita. Bil.s edition and Greg's edition. 1B 11 10 11 12 12 18B 10 18 19 19 20 20 18 2B 24 24 26 25 23 26 25 31 32 82 31 Propositions 2,28 and 20, which are omitted in recent edi tions of Geometry, are found in the Rekhaganita and Bil.s and Greg.s editions. In Book VIIhe Rekhagaita has 89 propositions and Bil's edition has 41 propositions. Of bhe bwo additional propositions in bhe English text, proposition 20 is noticed in the Sanskrit text as corollary to proposition 19 and proposition 22, which is enunciated as follows in Bil.'s edition, inds no place in the Sanskrit text:-- If there be three numbers, and other numbers equal unto them in magnitude, which being compared two and two are in the self-same proportion and if also bhe proportion of them be perturbate, then of equality they shall be in one and bhe same proportion. This proposition is omitted, perhaps because it answers to the 25th proposition of Book v, 25 'The following shews the difference in the order of proposi- tions in the two texts: Rekhaganita. Bil.'s edition. 20 21 21 24A 22 28B 2B 25 and so on till 28 which becomes 80 in the English text 29 33 30 34, 31 31 32 32 833 35 34 36 and so on till the end. In Book VIII., proposition8 16 and 1 in Bil's edition are in the Sanskrit text given as corollaries to propositions 14 and 15 respectively, and 26th and 27th propositions in the Rekhagani ta appear as corollaries to Prop. 25 in Bil.s edition. Thus the total number of proposition in both the works is the same 27. In Book x. the Rekhagspita contains 88 propositions, while Bil.s edition has 36. Propositions 80 and 31 are not found in Bil.s edition; but bhey are mentioned there and attributed to Campane, 'The difference in the order of propositions is shown below: - Rekhganita. Bil.'s edition. 14 20 15 14, 16 15 17 16 18 17 19 18 20 19 26 27 26 32 B0 31 and so on till the end, 26 In Book X. Bil.s edition contains 9 propositions more than bhe Rekhagonita. These are proposition8 7, 8, 18, 16244112, 118, 114, and 116. They are enunciated as under : Prop । Magnitudes incommensurable have note that proportion, the one to the other, that number bath to number. Prop. 8 Converse of the above. Prop. 18

  • If there be two magnitudes commensurable, and if one of

bhem be incommensurable to any other magnitude, the other also shall be incommensurable unto the Bame. Prop. 16 If two magnitudes incommensurable be composed, the whole magnitude also shall be incommensurable unto either of the bwo parts components; and if the whole be incommensurable to one of the parts components, those first magnitudes also shall be incommensurable Prop. 24 ‘A rectangle parallelogram, comprehended under medial lines commensurable in length, is a medial rectangle parallelogram. Prop. 112 The square of a rational line applied unto a binomial line maketh the breadth or other side a residual line, whose names are commensurable to the names of the binomial line and in the self same proportion; and moreover that residual line is in the self same order of residual lines that the binomial line is of binomial lines. Prop. 118 The square of a rational line applied unto a residual maketh the breadth or other side a binomial line, whose names are commensurable to the names of the residual lineand in the self same proportion; and moreover that binomial line is in the self same order of binomial lines that the residual line is of residual ines. Prop. 114 If a parallelogram be contained under a residual line and a binomial line, whose names are commensurable to the names.of the residual line and in the self same proportion, the line which containeth in power bhat superficies is rational.' Prop. 116

  • Now let us prove that in square figures the diameter is in:

commensurable in length to blie side There are thus nine additional propositions in Bil.s edition ; but there are two propositions in the Rekhaganita which are not found as propositions in the English text. 'They are 27th and 29th. 27bh proposition is mentioned in Bil.'s edition at bhe end of the 8st proposition and the 29th proposition is given as a corollary to the 82nd proposition. The difference in the number of propositions in the two books is thus reduced to asven, the Sanskrit text comprising 109 and the English text 118 propositions in all. The difference in the numbering of propositions is as follows:- Rekhagspita. Bil.s edition. 10 11 10 12 11 15 12 14, 13 17 14 18 and so on up to 19th which is 23rd in Bil's edition. 20 26 21 27 2 28 28B 25 24, 29 25 30 28 31 27 Mentioned at the end of 31st Prop 28 32 29 Cor. to 32 B0 3B 31 34 32 85 and so on up to 108th which is.l1lth in Bil.s edition 109 115 28 In Book XI. Bi.'s edition has one proposition, 88th, which is wanting in the Rekhagspita. It is enunciated as below:-- If a plane Buperficies be erected perpendicularly to a plane superficies, and from a point taken in one of the plane super- ficies be drawn to the other plane superficies a perpendicular linethat perpendicular line shall fall upon the common section of those plane superficies' Propositions 32nd and 35th in the Rekhaanita appear as 2nd cases of propositions Blet and 34th respectively. Thus the Sanskrit text has in all 41 propositions, while the English text has 40 propositions The following shew3 the difference in the order of proposi tons: Rekhgapita. Bil.'s edition. B2 2nd case of 31 3B 82 84 34 85 2nd case of 84 86 33 B 35 38 86 39 3 39 41 40 In Book XII, 6th, 18th, and 14th propositions in Bil.s edi. tion do not find a place in the Sanskrit text. They are enun. ciated as under: - 6th Prop. Pyramids consisting under one and the self-same altitude and having poligonon figures to their bases are in that propor tion, the one to the other, that their bases are' 186h Prop. If a cylinder be divided by a plane superficies being paral lel to the two opposite plane superficies, then as the one cylinder is to bhe other cylinder. so is the axe of the one to the axe of the other.' 14th Prop Cones and cylinders consisting upon equal bases are in pro portion the one to the other as their altitudes. Thus while the Sanskrit text has 15, the English text has 18 propositions in all. 29 The difference in the order of propositionia is noticed below- Rekhaganita. Bil's edition. 10 10 12 12 15 18B 16 14 17 15 18 In Book XIII the Sanskrit text has three propositious more than Bil.s edition. These are the Brd, 4th, and 6bh propositions. of these Prop. Brd is noticed in Bil's edition as a theorem added by M. Die The order of the propositions in both the texts Yaries as under: -- Rekhagapita. Bil.s edition. 10 11 12 12 18 10 14 15 11 16B 1B 17 15 18 14 19 16 20 17 21 18 In Book XIV. Fluesas has bwenty propositions, while the 8b Rekhagapita has only ten ; and there is no agreement in the order of propositions as shown below:- Rekhaganita. Flossas. 10 Propositions 1, 6 and 8 agree in both. Proposition 5th in the Rekhganita is noticed by Hypsicles after the Brd Prop; but no proposition in Bil.s edition answers to the 7th Prop of our text In Book X. I ind nothing in Bil:s edition to correspond to Prop. 1 in the Sanskrit text, The order of the other proposi tions is as shown under:- Rekhagaita. Bil.'s edition. 2 after Hypsicles , 8. Prop7th Book I. in the Rekhagapita is enunciated in a very ingeniouB way as under: The straight lines drawn from the extremities of one straight line (on the same side of it) can | meet in one point and never in another This enunciation is very like the one found in Bil.s edition:- If from bhe ends of one line be drawn two right lines to any pointthere can not from the self-same ends on the same side be drawn two other lines, equal to the two first lines, the one to the other, to any other point' 31 whether the Beakhxganita in an original work or a bramation. The next question that suggests itself for consideration is whether the Rekhagaita is an original work or a translation. The subjects treated in the different booksthe number of pro positions in each of them, the very order in which they are given, the method of proof adopted in them, and bhe fact Bhat the author fourished, as we shall see further on, in the eight• eenhh centuryleave not a shadow of doubt that the ork is not original, but a translationNay, if there is any doubt on the matter, it is removed by one of the Mss, in my possession which says ‘अथोदशस्यं रेखागणितं लिख्यते I must also be noted that if the work were original, the letters in the diagrams illustrat thing its propositions would be in the order of the Sanskrit al. phabet, either , इ, e &c or क, ख, ग &c. But the lettering is Greek or Arabicboth being Phoenician in character It is bhus unquestionably settled on the above grounds that the work is not original, but a branslation But if it be not an original work, how are the following intro• ductory stanzas to be explained:-- अपूर्वं विहितं शाख यत्र कोणावबोधनात् । क्षेत्रञ्च जायते सम्यप्युत्पतिर्गणिते यथा ॥ शिल्पशास्त्रमिदं प्रो ब्रह्मणा विश्वकर्मणे पारम्पयवशदेतदागतं धरणीतले तद्विच्छिां महाराजजयसिंहाशया पुनः । प्रकाशितं संग सम्यग् गणानवहेतवे ॥ These verses would lead the reader to either of the two conclusions, that bhe Rekhagaita was an original work or that the autohor was a plagiarist, That the work is not original is clear from the above causes. That it is not easy to charge bhe author with plagiarism is evident from the fact that in the introductory stanzas to his other work, SiddhAnta-samraj’ he clearly says that it is a branslation of an Arabic work, Mijasti 32 ‘प्रस्थं सिद्धान्तसम्राजं सम्राद रचयति स्फुटम् । सुटयै श्रीजयसिंहस्य जगद्यथाहयः कृती ॥ अरबीभाषया अन्थो मिजास्तीनामकः स्थितः। गणानां सुबोधाय गीर्वाण्या प्रकटीकृतः । How then is this inconsistency to be explained? The problem, it must be confessed, is not easy of solution. The only possible solution seems to be that knowing as the author must have done bhat the science of Geometry (शिल्पशाख ) was first culti. vated in India and hence imported to Greece and other countries, and that it was in his time completely lost, he gave it a divine origin to inspire his people with greater respect for it. This incidentally lands us into the question whether Geometry was first discovered in India or in Greece, This is no place to enter into an exhaustive treatment of the Bubject, nor is it possible to arrive at an incontrovertible solu: tion of the question in the present state of our knowledge Suffice it to say that a nation to which the world owes the ingenious invention of numerical symbols and the decimal notation, a nation which made great advances in Algebra and Arithmetic, and a nation which made independent astronomical observations, arrived at a fairly accurate calculation of the solar year of 360 days with an intercalary month every three years, was acquainted with the phases of the moon, and had made observations of a few of the fixed starg*= nation 8o far ad. vanced in the cultivation of mathematics and astronomy cannot be supposed to be completely ignorant of the elements of geometry. It will not be amiss to quote the views of a few western scholars on this subject: " • 'Though no date can be fixed to the commencement of geometry in India, yet the certainty which we now have that algebra and the decimal arithmetic have come from that quarter, the recorded visits of bhe earlier Greek philosophers to Hindustan (bhough we allow weight rather to the tendency to suppose that philo sophers visited India bhan to the strength of the evidence

  • vide Imperial Gazetteer of India' Vol, VI, pp. 104•6 by W. W. Epnter B3

thatbhey actually did 8o ) togethher with very striking prooft of originality which abound in the writings of that country make it essential to consider the claim of the Hindus or ot bheir predecessors to bhe invention of geomethry. That is, waiving bhe question whether they were Hindus who invent ed decimal Arithmetic and Algebra we advance that "the people that first taught bhose branches of science is very likely to have been the first phat taught Geometry and again seeing bhat we certainly obtained the former two either from or at least through India, we think it highly probable bhat the earliest European geometry also came either from or through the Bame country In Geometry, the points of contact between the Sulva Satras and the work of the Greeks are so consider able that according to Cantor, the historian of Mathematics, borrowing must have taken place on one side or the other In the opinion of that authority, the Sulva Sutras were in fuenced by the Alexandrian geometry of Hero ( 215 B. C.) which he thinks, came to India after 100 B. C. The Sulva Sathras, are, however, probably far earlier bhan thhat date, for bhey form an integral portion of the S'rauta Shtras and thheir geometry is a part of the Brahmanical theologyhaving taken its rise in India from practical motives as much as the science of grammar. The prose parts of the Yajurvedas and the Brshmanas constantly speak of bhe arrangement of the sac rificial ground and the construction of altars according to very storict rules, the slightest deviation from which might cause the greatest disaster' • Whatever conclusions we may arrive as to bhe original source of the first astronomical ideas current in the world, it is probable that to the Hindus is due the in vention of algebra, and its application to astronomy and geo metry• + 'For whatever is closely connected with the ancient religion must be considered as having sprung up among the Indians themselves, unless positive evidence of the sbronges; kind point to a contrary conclusion. 8 * The geomethrical pro- • Vide the article on ‘Geometry' Penny Cyclopaedia, Vol. XI + Vide 'History of San8krit Literature' by A. A. Maodonell, p. 424. Monier Williams Indian Wisdom' p. 184. हैं Dr. G. Thibaut on the solva S¢tras. Vide Journal of the Asiatic Society of Bengal, 1876, p. 228, 34 position, the discovery of which the Greeks asoribed to Pytdha goras, was known to the old Acharyas, in its essence at least.* It should not at the same time be ignored that Herodotus, the well known Greek historian, attributes the invention of the soienue to the Egyptians. Herodotus, the earliest authority on the subject, assigma the origin of bhe art to the necessity of measuring lands in Egypt for the purposes of taxation in the eign of Sesostris about 1416-1857 B. c. (Eero B. II Chap109). This is probable as not only resting on such authority, but also because a priori we should expect the necessity of measuring lands to arise with property in land and to give birth to the art of the state of the science, however, among the Chaldeans or Egyptians, we have no record + The fact is that very minute rules are laid down in bhe Taittiriya Saihita and the Brahmamas for the arrangement of the sacrificial ground and the construction of altars and in the Baudhayana and Apastamba | for the shape of the bricke required for thhe construction of altarsh and that bhe S'ulva Sutras which form the 80%h section of the Kalpa Shtra of Apastamba and which are assigned by Dr. Thibaut to high antiquityx teach geometrical principles for the construction of altars for the S'rauta sacrifices and contain a number of geometrical rules, such as that of finding bhe Journal ot the Asiatic Booiety ot Bengal, 1875, p. 232 + Chamber noyclopedia. p. 700.

  • ‘किं च ततस्तनुक्रियाकाण्डप्रस्तावे तारामबाणप्रमितानासुवचरनाचातुर्यचर्यायण

अश्वसूत्राविमसिद्धानां नाणविषकुडवेदिकानों तवैव काम्यायनौतसूत्रभाष्याविभधितानां चुङवकूोंडपाणीपुरोडासपात्रीश्तावदानामुपवेषाग्तनकटसाक्षित्रहरणयवर्तादिपात्राणां निर्माणमतिपर्वाचनापि गणितबिवासवः स्फुटं प्रतिफलति । Introduction to बेन्नमिति by s'astbri Durgaprasada Dviveda 8 (Besides the quaint and clumay tarminology otten employed for the e pression of very simple operations—for instance in the rules for the addition and anbtraction ot squares—is another proot of the high antiquity of these rules of the cord. 'wournal ot bhe Asiatio Society of Bengal 1876, p. । . 35 value of a diagonal of a square in relation to its side, of burning a square into a circle and of burning a circle into a square.* Indeed the science of Geometry like the science of Grammer formed a part of the Brahmanical pheology and fit is not likely that the exclusive Brahmans should have been willing to borrow anything closely connected with their religion from foreigners' + 'Thus bhere is a strong probability that the science of Geometry was invented in India. It was, however not cultivated in India ; because the construction of altary which originated the science fell into disuse owing to bhe rise of Buddhism and he worship ofimages The Bekhgapita, a branslation ot bhe Arabic work on Geometry by Nasir eddin. I being settled bhat the Rekb&gapita is not an original work bhe next question that naturally requires solution is to decide the original of which it is a translation. This proved a very difficult taskNone of the English editions of Geometory that are available to us, neither the celebrated Gregorys edition in bhe ILatin and the Greek, nor the excellent edition of Billingष्ट- ley, the very first version of Euclid in English, contain any of the 5thriking characteristies of the Rekhagamita noted before. Help was sought from some of the Professors of Mathematics. But replies were received from all that they were sorry not to be able to help me in the matter. Knowing that the Arabians were the most zealous cultivators of the Greek sciences of Astronomy and Geometry between the 9th and 14th oenburies and bhat the British Museum might be possessing copies of the Arabic versions of Duclid, I consulted the Secretary of the Oriental Department of the British Museum, London, about bhe original of bhe work, informing him of some of the cha e

  • चतुरसं मी विकीर्यन्मघ्यावं नियात्र तत्पार्श्वतः परिलिख्य तत्र यतिरिक्तं

आवति तस्य तृतीयेन सह मण्डी परिञ्चित्समाखविधिः। अडङ चतुरमें चिकीर्षन् बिर्लभं पशवशमागान् कृत्वा ब्रडबरेचन करणी । t de p. 24, ‘History of Sanskrit Literature' by A, A. Macdonell. 36 racteristics of the Sanskrifc work ; but he too wrote to me that he could not trace the original* I then addressed Mahamaho- p&dhystya Sudhslkara Dvivedi, Professor of Mathematics, Government Sanskrit College, Benares, and author of Qanaka- taraiigini and other works, requesting him to let me know whether he had any arguments in support of what he advanced in the Ganakatarangini— * ^<4)4»md: «^ ^qi l Hgq> ^^[1^- In reply the S'&stri wrote to me that he had ap Arabic work which seemed to him to be the original of the Bekh&ganita and on my requesting him to lend me the work, he was good enough to send it to me. The Arabic workf contains all the fifteen books. On comparing it with the Kekhfiganita I find in it all the striking features of the latter noticed above. The forty- seventh proposition of the First Book is proved in seventeen ways4 The book contains all the propositions preparatory to the 29 th Prop, of the first book that are found in the Sanskrit text. No authorities are given in the proof of proposi- tions. There is not a shadow of doubt that this Arabic work is the original of the Rekh&ganita. The work does not mention the name of the author, but the Preface, which runs as under, makes it clear that the author is the same scholar that has composed 'M&jisti': —

  • The foUowing is the reply received: —

Bbitish Museum, London: W, C. March 8, 1899, Dear Sir, I am afraid that we can not help you in your search for the original of the Rekh&ganita. We have nothing in Arabic which appears to be at all likely, and we do not possess a copy of James Williamson's work. Yours faithfully, ( Signed ) ROBERT K. DOUGLAS. t I found another Arabic work containing all the fifteen books with Prof. Isfah&ni, but it contains no alternative proofs and is not the original of the Rekhdganita. I PerigaVs * Messenger of Mathematics ' New Series, Vol. III. p. 104 contains alternative proofs of Book I. Prop. 47. पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३

श्रीगणेशाय नमः ।
श्रीलक्ष्मीनृसिंहाय नमः ॥

गणाधिपं सुरार्चितं समस्तकामदं नृणाम् ।

प्रशस्तभूतिभूषितं स्मरामि विघ्नवारणम् ॥ १ ॥ ।

लक्ष्मीनृसिंहचरणाम्बुरुहं सुरेशैर्वन्द्यं समस्तजनसेवितरेणुगन्धम् ।

वाग्देवतां निखिलमोहतमोपहन्न वन्दे गुरुं गणितशास्त्रविशारदं च ॥ २ ॥

श्रीगोविन्दसमाहूयादिविबुधान् वृन्दाटवीनिर्गतान्

यस्तत्रैव निराकुलं शुचिमनोभावः स्वभंक्त्यानयत् ।

म्लेच्छान् मनसमुन्नतान् स्वतरसा निर्जित्य भूमण्डले

जीयाच्छीजयसिंहदेवनृपतिः श्रीराजराजेश्वरः ॥ ३ ॥

करं जनार्दनं नाम दूरीकृत्य स्वतेजसा ।

आजते दुःसहोऽरीणां यथा भैष्मो दिवाकरः ॥ ४ ॥

येनेष्टं वाजपेयाचैर्महादानानि षोडश ।

दत्तानि द्विजवर्येभ्यो गोग्रामगजवाजिनः ॥ १ ॥

तस्य श्रीजयसिंहस्य तुझे रचयति स्फुटम् ।

द्विजः सम्राट् जगन्नाथो रेखागणितमुत्तमम् ॥ ६ ॥

१ A. begins the work as follows:-ओं श्रीगणेशाय नमः । अथो

क्ीदाख्यं रेखागणितं लिख्यते । तत्रास्मिन् प्रन्थे &c. K. begins it

thnsc–श्रीगणेशाय नमः । श्रीशारदायै नमः । श्रीगुरवे नमः । ओं सिद्धिः।

गजाननं गणाधिपं सुरासुरार्चितं सदा । समस्तभफकामदं शिवासुतं सुखप्रदम् ॥

वितण्डवष्ठयोगिनीसमाजमध्यवर्तिनम् । समस्तभूतिभूषितं नमामि विन्नवारणम् ॥

लक्ष्मीनृसिंह &c.

२ शक्त्या ३ दर्प K. पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७ बिन्दुश्च केन्द्रसंज्ञः। केन्द्रोपरिगतं सुत्रमुभयतः पालिसंलग्न व्याससंशं स्मार्ते । व्यासस्तं वृत्तक्षेत्रस्य समानं भागद्वयं करोति । या रेखा केन्द्रगा स्याद्वै किं च पालिलमा स्यात् तदुभयतः खण्ड द्वं विषमं भवति सा रेखा चापकर्णसंज्ञा पूर्णज्यासंज्ञा च भवति । अथ सरलरेखाकृतीनि क्षेत्राण्युच्यन्ते तैत्रादौ त्रिभुजमुच्यते । तद्वै त्रिविधम् । एकं समत्रिबाहुकम् । द्वितीयं समद्विबाहुकम्। तृतीयं विषमत्रिबाहुकम् । /\NA पुनस्तत्करैरपि त्रिभुजं त्रिविधं भवति । तद्यथा । यस्मिन्नेकः समकोणोऽन्यौ न्यूनफोणौ तत् समकोणत्रिभुजं ज्ञेयम् । यथैकोऽधिककोणोऽन्यौ न्यूनौ स्तस्तद् अधिककोणत्रिभुज ज्ञेयम् । १ मध्यबिम्दुः for बिन्दुध K. २ भवति D. K. ३ भवति D. K. ४ कृतानि . ५ A. and B. Omit आौ. ६ तत्रिभुजं B. D पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/८२ अथ त्रयोदशी क्षेत्रम् । तत्रैकरेखोपरि अन्यरेखायोगः कार्यः तत्र रेखोभयदिशि जातं यत् कोणद्वयं तत् समकोणद्वयं भवाति अथवा कोणद्ध ययोगः समकोणयतुल्यो भवति । अथ अबरेखायां जदरेखाया योगः कृतस्तेन अबजकोणः अबदकोणध इमौ समुत्पन्नौ । । अबरेखा यदि लम्बस्तदा द्वौ समकोणौ जातौ । यदा अबरेखा लम्बो न भवति तदा बचिन्हात् बहलम्बः कार्यः। तदा कोणत्रयं भ वति अबध एकः अबर्ह द्वितीयः इबदं तृतीयःअयं द्वितीयकोणः प्रथमकोणेन युक्तः कृतश्चेत् तदा इबजः हबदथैतौ द्वौ समकोणौ भविष्यतः। अथे द्वितीयकोणे तृतीयकोणश्चेद्योज्यते तदा अबज अब दकोणौ यथास्थितौ भवतः । तस्मादेतत्समकोणद्वययोगः समकोणद्वय तुल्यो जातः। इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ चतुर्दशं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वये दिग्दयतः समागतं तदयरेखाचिन्हे यदि योगं करोति तत्र तद्रेखाययोगासमकोणद्वयं भवति वा कोणद्वययोगः समकोणद्वयतुल्यो भवति तदा निष्कौंसितरे खाद्ययोगात् सरलैकरेखा भवति । • omitted in D. २ A and B. Omit द्वितीयकोणे. २ ०श्चि° K. ॐ K. and B. add रेखाद्वयमन्यरेखया चिन्हे योगं करोति यथा रेखान्ता गमेकत्र योगो भवति तत्रोत्पन्नं कोणद्वयं द्वौ कोणौ समकोणौ अथवा द्वयोर्योगः समळनेणद्वयसमानः रेखात्रयाणां मध्ये मिलितं रेखाइयमेका सचरण श्रेष्ठा भवति । २१ अत्रोपपत्तिः । बबबदरेखे अबरेखायां बचिन्हे मिलिते जाते । जबअझयः दबअकोणः एतौ समझोणद्वयसमानौ जातौ। तदा जबदरेखा सरला एका रेखा जाता । यदि सरला न भवति तदाँ जबहरेखा सरला रेखा भवति । तत्रै जबअः इबअः ह । एतौ द्वौ कोणौ द्वयोः समकोणयोः समानौ व ज जातौ । तदा जबअकोणः दबअकोणः एतावपि कोणौ द्वयोः सम कोणयोस्तुल्यौ भवतः । पुनस्तयोर्जबअकोणश्वेच्छोध्यते तदा इबअ ल्धुकोणः दबअबृहत्कोणतौ समानौ स्याताम् । एतदनुपपन्नम् । यतस्तौ प्रत्यक्षी लघुमहान्तौ । तस्मादुपपन्नं जबदरेखा सरलतीति ॥ अथ पञ्चदशं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वयसंपातादुत्पन्न कोणचतुष्टयं तेषु परस्परसन्मुखं कोणद्वयं समानं भवति । यथा अबरखाजदरेखाभ्यां हचिन्हे सं पातः कृतः । तत्र जहबकोणअहदकोणौ पर स्परसन्धुसौ समानौ स्तः । कुतः । बहजकोण- द इ ब्र जहअकोणयोयोगः समकोणद्वयतुल्योऽस्ति । पुनर्जहअकोणअहदकोणयोयोगोऽपि समको वे णद्वयसमानोऽस्ति । जहअकोणश्चोभयोः कोणयोर्मिलितोस्ति स ऍरी क्रियते चेत्तदा बहजोणअहदकोणावपि शेषौ समानौ स्तः । तदा रेखाद्वयसंपातात् उत्पन्न कोणचतुष्टयं चतुर्भिः समकोणैः समानं जातम् । • omibted in D. २ omitted in D. ३ omitted in D.

  • omitted in D. ५ D omits इति. ६ रीकृता तदा D. K. अथ च यस्मिम्श्चिन्हे यावत्यो रेखा मिलितास्तत्रोत्पला ये कोबास्ते

चतुर्भिः समकोणैः समाना भवन्ति । अथ षोडशं क्षेत्रम् । तत्र त्रिभुजस्यैको भुजः स्वमार्गवृद्धः कार्यः ततत्रिभुबा बहिरुत्पलकोणः त्रिभुजान्तर्गतस्वपार्श्वस्थितान्यकाणाभ्यां प्रत्येकादधिकोऽस्ति । यथा अबजत्रिभुजे बजसुजः दप झ| र्यन्तं नीतः । तत्र त्रिभुजाद्वहिरुत्पन्नः अजदकोणः त्रिभुजान्तर्गतअकोणात् ब कोणाच्च प्रत्येकादधिकोऽस्ति । अत्रोपपत्तिः । तत्र अजभुजस्य हचिन्हे खण्डद्वयं समानं कार्यम् । बहरेखा च कार्या। बहरेखा वर्धिता बहसमाना झपर्यन्तं नेया । जझरेखा च कार्या । तदा अबहत्रिभुजं जातम् । एवं हजशत्रिभुजं जातम् । तत्र बहभुजः हझभुजेन समानः । अहभुजश्च हजभुजेन समानः । बहअकोणः झहजकोणेन समानः । तस्मात् बअहकोणः हजझकोणेन समानो जातः । तदा अजदबहिर्गतकोणः अजह्नकोणादधिकोऽस्ति । अको णादप्यधिकः । पुनः अजभुजः वचिन्हपर्यन्तं नेयः । तदा बजव कोणः बकोणादधिकः । बजवकोणश्च अजदकोणश्चैतौ समानौ जातौ। अजदकोणोऽपि बकोणादधिको जातः । इदमेवास्माकमभीष्टम्। अनेन इदमपि ज्ञातमेकचिन्हादुत्पन्नं रेखाद्वयं तृतीयरेखया यदि योगं करोति तदा तत्रोत्पनैकदिक्कोणद्वयं कदापि समानं न भवति । दिगत्र चिन्होत्पनरेखातो प्राया । २३ यथा अनिम्हात् अबरेचा अजरेखा च नि चता बदखायां बजचिन्हे मिलिता । तदा अ बजोणअजंदफोणौ चैकदिश्युत्पन्नौ समानौ न भवतः । यतो रेखात्रययोगेन अबजत्रिभुजं जातम् । अजदकोणः त्रिभुजाहृहिःस्थः अब - जकोणादधिकोऽस्ति । इदं ऍर्वक्षेत्रे प्रतिपा दितमस्ति । तस्माँदुक्तमेवोपपन्नम् । अथ सप्तदशं क्षेत्रम् । . Hज अ तत्र त्रिभुजस्य कोणद्वययोगः समकोणद्वययोगादल्पो भ- षति । यथा अबजत्रिभुजे बजकोणौ सम फोणद्वयान्यूनौ स्तः। कुतः । बजभुजः दपर्यन्तं नेयः । अजद कोणअजबकोणयोयोगः समकोणद्वयः समानोऽस्ति । अजकोणस्तु बको- न जना ६ णादधिक्रुः। पुनर्बकोण अजबकोणयोर्योगः समकोणद्वयान्यूनोऽस्ति । एवंमन्यकोणेष्वपि ज्ञेयम् । तदेवमुपपन्नं यथोक्तम् । अथाश्वाद क्षेत्रम् । तत्र त्रिभुजे वृहद्भुजसन्मुखः कोणः लघुभुजसन्मुखकोणा- न्महान् भवति । • ‘दुहिस्थं क्षेत्रं K. २ पूर्वे च प्रतिपादितमति K. ३ इदमेवास्माकम भीष्टम् ॥ D. ४ After bhis A adds षोडशे उक्तम् । ५ अनेन प्रकारेण D. K. १ omitted in D. २४ यथा अबजत्रिभुजे अबभुजः अजभुजान्महानस्ति । तस्मारकाणः बकोणादधिको भविष्यति । कुतः । भी यदि अबभुजे अजतुल्यं अदं पृथक् क्रियते जदेखा च क्रियते तदा अदज कोणअजदकोणौ समानौ भवतः। अ- अ दजकोणस्तु अबजकोणान्महानस्ति । अजदकोणोऽपि महानस्ति । पुनः अजबकोणोऽपि अजदकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् अजबकोणः अबजकोणादतिमहान् जातः । तदेवमुपपन्नम् । पुनः प्रकारान्तरम्। अजरेखा दपर्यन्तं नेया । अबतुल्यं अदं च कार्यम् । दबरेखा । च कार्या। तत्र अबदकोण अदबकोणौ समानौ स्तः। अबदकोणस्तु अबजको ज, णान्महानस्ति । अदबकोणोऽपि अब- ॐ जकोणान्महानस्ति । पुनः अजबकोणः अदबकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् अ- अं जबकोणः अब्जकोणादतीव महान् जातः । तदेवमुपपन्नं यैथोक्तम् । पुनः प्रकारांन्तरम् अं केन्द्रं कृत्वा अबव्यासार्धेन बदबूलं कार्यम् । बजरेसा वृत्तलमा दपर्यन्तं नेया । अदरेखा च कार्या । अबदत्रिभुजे बकोण दकोणौ समानौ स्तः। अजबकीणश्च अदबकोणादधिकः। अबदकोणादप्य धिकोभविष्यति । इदमेवेष्टमस्माकम् ॥

१ ‘रेण D. K. २ D. omits it. ३ न्तरेण D. ४ अजबकोणो महानस्ति अद्वकोणात् अबद्कोणादप्यधिकः K. D. २१ अथैकोनविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र त्रिभुजे योऽधिककोणस्तत्सन्मुखभुजोऽपि महान् भ वति योऽल्पकोणस्तत्सन्मुखभुजोऽपि लघुर्भवति । यथा अबजत्रिभुजे जकोणः ब कोणान्महानस्ति । तस्मात् अबभु जोऽपि अजभुजान्महान् भविष्यति। कुतः । यदि अबभुजः अजभुजान्महान् ब८अ न भवति तदा तत्समो वा तद्यूनो वा भविष्यति । यदि समस्तदा बज फोणौ समानौ भविष्यतः । जकोणस्तु बकोणादधिकोऽस्ति । पुनः अबभुजः अजभुजात् यद्यल्पोऽस्ति तदा बकोणः जकणादधिकः स्यात् । जकोणस्तु बकोणादधिकः कल्पितोऽस्ति । तस्मात् अबभुजः अजभुजादधिको भविष्यतीत्येतदेवेष्टम् । अथ विंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र त्रिभुजस्य भुजद्वययोगः तृतीयभुजादधिकोऽस्तीति निरूप्यते । यथा अबजत्रिभुजे अबअजयोगः बजादधिकोऽस्ति । बअमुजः दपर्यन्तं वर्द्धनीयः। अदः अजसमानः कार्यः । दज- रेखा च कार्या । तत्र बजदकोणः अजदकोणा दधिकोऽस्ति । अजदकोणश्च अदजकोणेन तु ल्योऽस्ति । बजदकोणोऽपि बदजकोणादधि अ कोऽस्ति । तस्मात् बदभुजः बजभुजादधिको बातः । १ D. K. have कुतः for अत्रोपपतिः । २९ पुनः प्रकारान्तरेण प्रदर्शर्यते । तत्र अकोणस्य अदरेखया समानं खण्डद्वयं कार्यम् । तदा अदज कोणः दअबकोणादधिकोऽस्ति । दअब कोणश्च दअजकोणेन तुल्योऽस्ति । त स्मात् अदजकोणः । जअदकोणान्महा- जातः । तदा अजभुजः जदभुजान्म- बी ई जे हान् भविष्यति । पुनः अदबकोणः दअजकोणादधिकोऽस्ति । द अजकोणश्च दअबकोणेन तुल्योऽस्ति । तदा अबभुजः बदभुजा न्महाञ्जातः । तस्मादधिकयोर्दूयोर्योगस्तृतीयादधिको जातः । इदमेव- पुनः प्रकारान्तरम् । तत्र अबअजयोगः बजादधिको यदि न भवति तदा तत्तुल्यो अ विष्यति वा न्यूनो भविष्यति। पुनः बर्द बअ तुल्यं पृथक् कार्यम् । अदरेखा संयोज्या। तदा जदेखातुल्यं शेषं जअतुल्यं भविष्यति अथवाधिकं भविष्यति । यदि तुल्यं भविष्यति ध्व ? जे तदा जअदकोणबअदकोणौ जदअबदअकोणयोः समानौ भविः ध्यतः। पुनः जदअबदअकोणौ द्वयोः समकोणयोः समानौ स्तः । तदा जअदकोणबअदकोणौ द्वयोः समकोणयोः समानौ भविष्यतः । इदमनुपपन्नम् । त्रिभुजस्यैककोणो समकोणद्वयतुल्यो न भवति । यदि जदरेखा जअरेखायाः अधिका तदा जअदकोणः जदअ कोणादधिकः स्यात् । तर्हि जअबकोणः बदअकोणजदअकोणयो योगादधिकः स्यात् । एतौ द्वौ कोणौ' द्वयोः समकोणयोः समानौ । बअजकोणः समकोणद्वयादधिको जातः । इदमैनुपपन्नम् । १ D. omits this sentence. २ पुनः प्रकारान्तरेण विंशतितमं क्षेत्रम् । तृतीयप्रकारेणाह ॥ D. पुनः प्रकारान्तरेण विंशतितमं क्षेत्रं तृतीयं चाह । K. ३ D. omits from इद' to भवति. K. omits from त्रिभु' to भवति. ४ B. inserts मिलित्वा after कोणौ५ इदं बाधितम् ॥ D. K. २७ अथैकविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र त्रिभुजैकभुजोभयभ्रान्तात् निःसृते रेखे त्रिभुजान्त मिलिते तद्भुजयोर्योगः त्रिभुजशेषभुजयोगाक्यूनोऽस्ति अथ बान्तर्गतभुजरेखायोगोत्पक्षकोण त्रिभुजोषभुजद्वययोग कोणादधिकोऽस्ति ॥ यथा अबजत्रिभुजे बजभुज़ोभयभ्रान्तान्निःसृते बदजदरे दचि न्हे मिलिते स्तः। बदजदयोगो बअजअ योगायूनऽस्ति । पुनर्बदजकोणो बअज- X कोणादधिकोऽस्ति । तत्र बदरेखा हपर्यन्तं नेया । बअ- जी अहमुजयोगो बहादधिकोऽस्ति । पुनर्हजरेखा बअअहरेखायां युका कार्या । हजं बहेऽपि युक्तं कार्यम् । तदा बअअजयोगो बह इजयोगादधिको जातः । पुनरपि दहहजयोगो दजरेखाया अधि कोऽस्ति । पुनर्बदं दहहजे युक्तं कार्यम् । दजेऽपि युक्तं कार्यम् । तर्हि बहइबयोगो बददबयोगादधिको भविष्यति । तस्मात् बअअज योगो बहइजयोगादधिकोऽस्तिं तदा बभअजयोगो बददजयोगा दत्यन्तमधिको भविष्यति । पुनर्बदजकोणो दहजकोणादधिकोऽस्ति । दबइजकोणोऽपि बअजकोणादधिकः । तस्मात् बदजकोणो बअज |णादत्यन्तमघिको जातः । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ यप्रकारेणोच्यते । तत्र बददजयोगो बअअजयोगाद्यदि न्यूनो न भवति तदा स मानोऽथवाधिकः स्यात् । तत्र बददजरेखयोरन्यतरैका रेखा बआ- अजरेखयोरन्यतरैकरेखाया अल्पास्ति वा न वा । यद्यल्पास्ति तदा जदं जअरेखाया अल्पमस्तीति कल्पनीयम् । १ भविष्यति -A. B. २ पुनरेकविंशतितमं क्षेत्र. D. २८ । / बदबअरेखयोरन्तरतुल्या अझरेखा भिन्न कार्या । तदा झचिदं हचिहे न पतिष्यति । यदि पतिष्यति तदा बअअहयोगो बदसमानः स्यात् । बअअहयोगो तदा बहरेखातः न्यून भविष्यति इति बाधितम् । यतो भुजद्व ययोगस्तृतीयभुजादधिकोऽस्ति । पुन- ऊ झेचिई हजरेखायामपि न पतिष्यति । यदि पतिष्यति तदा बअअह योगो बहरेखातः अत्यल्पः स्यात् । इदं बाधितम् । तर्हि झचिहं अह रेखायां भविष्यति । पुनीदरेखा कार्या । झबरेखा च कार्या। बदरेखा बअअझरेखायोगतुल्या बझादधिकास्ति । तदा बझदकोणः बदझ कोणादधिको जातः । बदं बअअग्नयोगेन तुल्यं स्थितं तर्हि जदं ज न तुख्यमधिकं वा स्थास्यति । तस्मात् जझदकोणः जवझकोणेन । तुल्यो वाधिकः स्यात् । यदि जदं जलेन तुल्यं स्यात् जझदकोणश्च जदक्षकोणेन तुल्यः स्यात् । यदि जदं जज्ञादधिकं स्यात् तदा जझदकोणो जदझकोणादधिको भविष्यति । तदनन्तरं बझजकोणो बदझकोणजदझकोणयोगान्महान्स्यात् । इदं बाधितम् । यतो बदझकोणजदझकोणयोर्योगः समकोणद्वयादधिकोऽस्ति । ततो बहाजकोणोऽपि समकोणद्वययोगादधिको जातः । इदं बाधितम् ।। त्रिभुजैककोणस्य समकोणद्वययोगादत्यल्पत्वात् । पॅनः जदभुजः जअभुजादल्पो न भविष्यति बदरेखा बअरेखायाश्च अल्पा न भविष्यति चेत् तदा समाना वा अधिका भविष्यति । तत्र अदरेखा कार्या । यथा पूर्वमुपपत्त्या साधितं तथात्रापि साध्यते । तद्यथा । बअजकोणः बदअजदअकोणयोर्योगेिन समानः अथवाऽधिकः स्यात् । पक्षद्वयेऽपि इदमनुपपन्नम् । यतः बदअजदअकोणयोर्योगः १ यदा A. B. २ इदं वाधितम् । K. ज समकोणद्वयादधिकोऽस्ति । बअजकोणस्तु त्रिभुजस्यैककोणोऽस्ति । अयं समकोणद्वयादधिको जात इति । बाधितम् । त्रिभुजे कोणद्वययोगः सम कोणद्वयाद्यून एव भवतीति नियमो ऽस्ति । तस्मात् बददजरेखायोगे बअअजरेखायोगान्यूनोऽस्ति । अथ अदरेखा वपर्यन्तं नेया । तत्र बदवकोणः बअदकोणादधि कोऽस्ति । जदवकोणश्च जअदकोणादधिकोऽस्ति । तस्मात् बदज- कोणः बअजकोणादधिकः सिद्धः । इदमेवास्माकमभीष्टम् । अथ द्वाविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्रैकं त्रिभुजं कैर्नमपेक्षास्ति तत्र त्रयो भुजास्तथा कल्प नीयाः यथा भुजद्वययोगस्तृतीयभुजादधिको भवति । | ते च त्रयो भुजाः अ बजसंज्ञाः ज्ञेयाः। N तत्र प्रथमं दहरेवा ( व वे कार्या । दहेरेखायां दश रेखा अरेखातुल्या पृथक् कार्या । झवरेखा च बरेखातुल्या पृथक् कार्या । वतरेखा जरेखातुल्या पृथक् कार्या । पुनीकेन्द्रं कृत्वा अद व्यासार्धेन दकलवृत्तं कार्यम् । वकेन्द्रं कृत्वा वतव्यासार्द्धन तकल वृत्तं कार्यम् । तदा वृत्रद्वयसंपातः कचिन्हे भवति । पुनः कश्च कवरेखा च कार्या । तत्र कझवत्रिभुजमस्माकमभीष्टं जातम् । अत्रोपपतिः । कहाभुजः झदतुल्योऽस्ति । इदं अतुल्यमस्ति । कर्क अतुल्यं • कर्तव्यमित्यपेक्षास्ति D. K. ३ ५ जातम् । झवभुजश्व बतुल्योऽस्त्येव । पुनर्वकभुजः वततुल्योऽस्ति । वतं जतुल्यमस्ति तस्मात् वकं जतुल्यं जातम् । अथास्माभिर्यदुक्तं तिस्रो रेखास्तादृशा अपेक्षिताः यासु रेखाद्वय योगस्तृतीयरेखाया अधिको भवतीति किमर्थमुक्तमिति चेत्तत्र पूर्वोक्तोप पत्या रेखाद्वययोगस्तृतीयरेखाया अघिकोऽस्तीति प्रतिपादितमेव । अत एव वृत्तद्वयसंपातो भवति । कुतः । अरेखाबरेखायोगः जरेखाया य द्यधिको न भवति तदा वतरेखा वदरेखातुल्या भविष्यति अथवा धिका भविष्यति । तस्मात् कतलवृत्तं कदलवृत्तं स्वान्तःपाति करि ष्यति। अथ दचिन्हे तदा संलग्न भविष्यति यदा वतं वदसमानं स्यात्। तदा दचिन्हात् परतो भविष्यति यदा वतं वदादधिकं स्यात् । पुनः संपातो न भवति । यदि बरेखाजरेखायोगः अरेखातोऽधिको न स्या तदा कदलवृत्तं कतलवृत्तं स्वान्तर्गतं करिष्यति । कुतः । दप्तरेखा झतसमाना चेत्तदा दकलवृत्तं तचिन्हे लगिष्यति । यदि दर्श झतात् अधिकं स्यात् तदा दकलवृत्तं तचिन्हात् परतो भविष्यति । वृतद्वयसं पातस्तदापि न भविष्यति । पुनः अरेखाजरेखायोगः बरेखाया अधिक न भविष्यति तर्हि झवरेखा वतरेखाहूदरेखायोगतुल्याधिका वा स्यात् । तदापि संपातो न भविष्यति । एवं तदैकं वृत्तं अन्यद्रुतं स्वान्तर्गतं न करिष्यति किं तु वृतद्वयं भिन्नं भिन्नं स्थास्यति यथा धिकस्तदेति ॥ • K. adds द्वाविंशतितमं क्षेत्रम् after इति. ३१ अथ त्रयोविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र अभीष्टरेखाया अभीष्टचिहोपरि कल्पितकोणतुल्यः कोणः कर्तव्योऽस्ति । तत्करणप्रकारो यथा । अबरखोपरि अचिहे जकोणतुल्यः कोणः कर्तव्योऽस्ति । तत्र प्रथमं जकोणस्य भुजद्वयोपरि दह- या चिहद्वयं कार्यम् । दहरेखा कार्या । अबरखोपरि अवक्षत्रिभुजं जदहत्रः भुजतुल्यं कार्यम् । तत्र अवरेखा ) । जहतुल्या अझरेखा जदत्या वक्ररेखा ८ । दहतुल्या च कैर्या । तत्र अकोणो जकोणतुल्यो जातः । इदमे- वास्माकमभीष्टम् । अथ चतुर्विंशतितमं क्षेत्रम् । तत्राभीष्टत्रिभुजस्य भुजद्वयं अन्यत्रिभुजभुजद्वयसमान- मस्ति तत्र प्रथमत्रिभुजस्य भुजद्वयसंबन्धिकोणो द्वितीयत्रिभु- बभुजद्वयबनितान्तर्गतकोणादधिकश्चेदस्ति तदा प्रथमस्य तृ तीयभुजः द्वितीयस्य तृतीयभुजान्नियमेन अधिकः स्यात् । यथा एकं अबजत्रिभुजं द्वितीयं दहकत्रिभुजं चास्ति । तत्र अब भुजो दहभुजतुल्योऽस्ति अजभुजश्च श दऋभुजतुल्यः। तत्र अकोणो दको णादधिकोऽस्ति। तदा बजभुजो इसैं शुजादधिकः स्यादेवेत्यत्र किं चित्रम् । मे है अत्रोपपत्तिः । दहरेखाया दचिहे हदवकोणो बअजतुल्यः कर्तव्यः । तत्र दव १ omitted in D. २ भवति K. ३ अधिको जातः तदा A. B. रेखा अजरेखातुल्या कर्चव्या । हवरेखा च कार्या । अथ इखरेखा बजरेखातुल्यास्ति । पुनर्वक्षरेखा श ६ कार्या । तदा दवझत्रिभुजे दवभुजो दशभुजध्मौ समानौ । दवझकोणो / दशवकोण एतौ समानौ स्तः । नेि वीहे पुनर्हझवकोणो दझवकोणादधिकोऽस्ति । हवझकोणश्च दवझ कोणादयः । एवं इझवकोणो हवझकोणादधिकोऽस्ति । हवभु जोऽपि हझभुजादधिको जातः । पुनईवभुजो बजभुजतुल्योऽस्ति । तस्मात् बजभुजो हप्तसुजादधिको जात इति सिद्धम् । पुनः प्रकारान्तरम् । २४ एवं पूर्वोक्तप्रकारेणोपरिस्था हवरेखा न चेत्तदा हवरेखा दहरे- खायां संपातं करिष्यति वा अ हझरेखायां पतिष्यति वा हझ रेखाया अधः पतिष्यतीति प्र कारत्रयेण तस्याः संस्था जाता। व सहे प्रथमप्रकारस्तु पूर्वं कथितः । द्वितीयप्रकारे तु हझरेखा हवरेखायाः खण्डं भविष्यति । तदा हवरेखा हझरेखायाः अधिका जाता । तृतीयप्रकारे तु तकपर्यन्तं द- { झदवरेखे कारें । झखरेखा च काय । तदा तफावको N णकवझकोणौ तुल्यैौ भवि- जे ष्यतः । एवं हझवकोणः तझवकोणादधिकः । हवझकोणस्तु कवझकोणान्यूनः । तदा हवभुजः हझभुजादधिकः स्यात् ॥ १ ०रेण चतुर्विंशतितमं क्षेत्रम् ।D. K. अथ पञ्चविंशतितमे क्षेत्रम् । तत्रैकस्य त्रिभुजस्य भुजद्वयं द्वितीयत्रिभुजस्य भुजद्वयेन समानं प्रथमस्य तृतीयभुजश्च द्वितीयस्य तृतीयत्रिभुजादधि कस्तदा प्रथमत्रिभुजस्य समानभुजद्वयोत्पन्नकोणो द्वितीयत्रि भुजस्य भुजद्वयान्तर्गतकणादधिकः स्यात् । यथा एकं अबजत्रिभुजं द्वितीयं दहङ्कत्रिभुजं तत्र अबभुजो दह भुजेन तुल्यः। अजभुजो दक्षभुजेन आN व} तुल्यः। बजभुजोऽपि इक्षभुजादधिकः तदा बअजकोणो हदश्नकोणादधिकः स्यात् । यदि अधिको न स्यात् तदा ब हैं वे तुल्यो भविष्यति वा न्यूनो भविष्य- ति । यदि तुल्यस्तदा बजभुजो हझ भुजतुल्यः स्यात् । इदं बाधितम् । अथ च यदि न्यूनस्तदा बजभुजो इशयूनः स्यात् । इदमॅपि बाधितम् । - थतो बबभुजो हभुजादधिकोऽस्ति । तस्माद्वअजकोणो हदझको णादधिको जात इति सिद्धम् । पुनः प्रकारान्तरम् । दं केन्द्रं कृत्वा दकव्यासार्धेन झववृत्तं कार्यम् । इनं तपर्यन्तं नेयम् । हतं बजतुल्यं कार्यम् । पुनः के केन्द्रं कृत्वा इतव्यासार्धेन तववृत्तं कार्यम् । वृत्तद्वयसंपातो वचिन्हे अॅवति । दवरेखा हवरेखा च कार्या । तदा हदवत्रिभुजस्य त्रयो भुजाः बअजत्रिभुजस्य भुजत्रयेण समाना जाताःहदवकोणश्च हदह्नकोणादधिक इति सिद्धम् । १ इदमनुपपन्नम् । A. B. २ इदमप्यनुपपन्नम् । A.B. ३ प्रकारान्तरेण।D. प्रकारान्तरमाह । K. ४ K. omits भवति. ३४ अथ षर्विंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र एकस्य त्रिभुजस्य कोणद्वयमेको भुजश्चान्यस्य त्रिभु जस्य कोणद्वयेनैकभुजेन च समानश्चेच्छेषौ भुजौ शेषकोणश्च तुल्यावेव भविष्यतः क्षेत्रं क्षेत्रसमानं च भविष्यति । यथा अबजत्रिभुजे दहक्षत्रिभुजे च अकोणो दकोणतुल्यः। बको याश्व इकोणतुल्यः। अबभुजदहभुज । च तुल्यौ कल्पितौ। अथवा बजभुज | हस्रभुजौ च तुल्यौ कल्पितौ । अथवा अजभुजदशभुजौ च तुल्यौ कल्पितौ । गते भने यदि अबभुजदहभुजैौ तुल्यौ कल्पितौ तत्र बजभुजहङ्गभुजौ यदा समानौ स्तस्तदास्माकमभीष्टमेव चैत् । यदि तुल्यौ न भवततदे दमनुपपन्नम् । अत्रोपपतिः । तत्र बतं हफतुल्यं कार्यम् । तअरेखा च कार्या । एवं अतबत्रि भुजं दफ़हत्रिभुजं च तुल्ये भवतः । पुनः तअबकोणझदहकोणौ तुल्यौ भविष्यतः। पुनर्जअबकोणझदहकोशौ तुल्यौ स्थितावेवें । तस्मात् जअबफकोणतअबकोणौ तुल्यौ स्याताम् । इदं बोषितम् । कुतः । एककोणस्य द्वितीयकोणखण्डत्वात् ॥ अथ बजइझभुजै यदि तुल्यौ भवतस्तदा बअभुजहदभुजौ तुल्यौ भवतः वा अतुल्यौ स्तः । तत्र यदि X तुल्यौ तदास्माकमभीष्टमेव सिद्धम् । व} यचतुल्यौ तत्रेदं दूषणम् । १ भुजकोणौ A. B. २ सिद्धम् । A. B. ३ °स्तत्रेदं दूषणम् । कुतः D. K. तदेवमुपपनम् । B. ४ A. B. omit the portion from पुनः to स्थितावेव. ५ इदमनुपपन्नम्, A, B. अत्रोपपतिः । तत्र बवं दहतुल्यं कार्यम् । ज- व वरेखा च कार्या । एवं तत्र जवबत्रि भुजं झदहन्निभुजं चैते तुल्ये स्या ताम् । जवबकोणझदहकोणावपि जे है के तुल्यौ स्याताम् । पुनर्जअबकोणस्तु झदहकोणतुल्यः स्थितः । तस्मा जवबफोणजअवकोणौ तुल्यौ भविष्यतः । इदमनुपपन्नम् ॥ पुनः प्रकारान्तरम् । तत्र यदि अबरेखा दहेरेखोपरि क्रियते तदा अजभुजो दक्षभु बोपरि स्थास्यति बजभुजश्च हलभु- अ जोपरि स्थास्यति । यतः अकोणो । दकोणतुल्यः कल्पितः बकोणश्च । इकोणतुल्यः अवं दहतुल्यं च कल्पि ) है . तमेवास्ति । एवं तत्र जकोणो झकोणे स्थास्यति । त्रिभुजं च त्रिभुजोपरि स्थास्यति । पुनर्यदि बजभुजो सहभुजतुल्यः कल्प्यः बकोणो हकोणोपरि स्थाप्यः अबरेखा हदरेखायां स्थाप्या तदा जचिन्हं झचिहे पतिष्यति। तदा दकोणः आकोणोपरि स्थास्यति। यदि न स्थास्यति तदाऽन्यसिद्धिहे पतिष्यति । यथा वचिहे पतितस्तदा जवबकोणो जअबकोणतुल्यो भविष्यति । इदमनुपपन्नम् । तस्मात् बकोणो हकोणे अकोणो दकोणे च स्थास्यति । तदा द्वौ त्रिभुजैौ समानौ जातौ । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ सप्तविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वयोरन्यरेखायां संपातः कृतः तत्रैककोणो द्वितीयदिक्संबन्धिकोणचैतौ तुल्यौ यदि भवतः तदा रेखा इयं समानान्तरालकं भवति । १ B. inserts एवं अजबूझयोस्तुल्यत्वकल्पनेऽपि सिध्यति after इदम३४ अथ षवंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र एकस्य त्रिभुजस्य कोणद्वयमेको भुजधान्यस्य त्रिभु जस्य कोणद्वयेनैकभुजेन च समानश्चच्छेषौ भुजौ शेषकोणश्च तुल्यावेव भविष्यतः क्षेत्रं क्षेत्रसमानं च भविष्यति । यथा अबबत्रिभुजे दहङ्कत्रिभुजे च अकोणो दफोणतुल्यः। बको यश्च इकोणतुल्यः। अबभुजदहभुज - च तुल्यौ कल्पितौ। अथवा बजभुज इक्षभुजौ च तुल्यैौ कल्पितौ। अथवा अजभुजदशभुजे च तुल्यौ कल्पितौ। गते देने यदि अबभुजदहशुजौ तुल्यौ कल्पितौ तत्र बजभुजहन्नभुजौ यदा समानौ स्तस्तदास्माकमभीष्टमेव चैत् । यदि तुल्यौ न भवतऍतदे दमनुपपन्नम् । अत्रोपपतिः । तत्र बतं इझतुल्यं कार्यम् । तअरेखा च कार्या । एवं अतबत्रि- भुजं दक्षत्रिभुजं च तुल्ये भवतः । पुनः तअबकोणअदहकोणौ तुल्यौ भविष्यतः। पुनर्जअबकोणसदहकोणौ तुल्यौ स्थितावेवें । तस्मात् जअबकोणतअबकोणौ तुल्यौ स्याताम् । इदं बघितम् । कुतः । एकझोणस्य द्वितीयकोणखण्डत्वात् ॥ अथ बजहरूभुजै यदि तुल्यौ भवतस्तदा बअभुजहदभुजौ तुल्य भवतः वा अतुल्यौ स्तः । तत्र यदि X तुल्यौ तदास्माकमभीष्टमेव सिद्धम् । व} यद्यतुल्यौ तत्रेदं दूषणम् । • °भुजकोणौ A. B. २ सिद्धम् । A. B. ३ °तत्रेदं दूषणम् । कुतः D. K. तदेवमुपपन्नम् । B. ४ A. B. omit the portion from पुन: to स्थितावेव. ५ इदमनुपपन्नम्, A, B. ३६ अत्रोपपत्तिः । तत्र बवं दहतुल्यं कार्यम् । ज- व वरेखा च कार्या । एवं तत्र जवबत्रि भुजं झदहन्निभुजं चैते तुल्ये स्या ताम् । जवबकोणझदहकोणावपि जे जे है के तुल्यौ स्याताम् । पुनर्जअबकोणस्तु सदहकोणतुल्यः स्थितः । तस्मा- ब्जवबकोणजअवकोणौ तुल्यैौ भविष्यतः । इदमर्नुपपन्नम् ॥ पुनः प्रकारान्तरम् । तत्र यदि अबरेखा दहेरेखोपरि क्रियते तदा अजभुजो दक्षभु बोपरि स्थास्यति बजभुजश्च हऋभु- अ जोपरि स्थास्यति । यतः अकोणो न दकोणतुल्यः कल्पितः बकोणश्च इकोणतुल्यः अर्ब दहतुल्यं च कल्पि ‘ जे हैं तमेवास्ति । एवं तत्र जकोणो झकोणे स्थास्यति । त्रिभुजं च त्रिभुजोपरि स्थास्यति । पुनर्यदि बजभुजो झहभुजतुल्यः कल्प्यः बकोणो हकोणोपरि स्थाप्यः अबरेखा इदरेखायां स्थाप्या तदा जचिन्हं झचिहे पतिष्यति। तदा दकोणः अकोणोपरि स्थास्यति। यदि न स्थास्यति तदाऽन्यस्मिश्विहे पतिष्यति । यथा वचिहे पतितस्तदा जवबकोणो जअबकोणतुल्यो भविष्यति । इदमनुपपन्नम् । तस्मात् बकोणो हकोणे अकोणो दकोणे च स्थास्यति । तदा दैौ त्रिभुजैौ समानौ जातौ । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ सप्तविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वयोरन्यरेखायां संपातः कृतः तत्रैककोणो द्वितीयदिक्संबन्धिकोणचैतौ तुल्यौ यदि भवतः तदा रेखा ये समानान्तरालकं भवति । २ B. inserts एवं अजदूझयोस्तुख्यत्वकल्पनेऽपि सिध्यति after इदम ३६ यथा अबरेखायां जदरेखायां हझरेखा संपातं करोति । तत्र अ इझकोणो दइइकोणेन स मानो यदि जातस्तदा अब ६ रेखा जदरेखा च समाना- हे - न्तरा भवति । यदि च रेखे समानान्तरे । न भवतस्तदा उभे रेखे बर्दिते वचिन्हे मिलिष्यतः । तत्र वहझत्रिभुजं भविष्यति । एवं त्रिभुजाहुहिस्थः अहझकोणत्रिभुजान्तर्गतः इहझवकोणचैतौ तुल्यैौ स्याताम् । इदमनु पपन्नम् । तस्माद्रेखाद्वयं समानान्तरकं भवतीति सिद्धम् । अथाष्टाविंशतितमं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वयेनान्या तृतीया रेखा संपातं करोति तदा बहि गीतकोणोऽन्तर्गतद्वितीयरेखासमीपस्थकोणसमो भवति वान्त- गीतैकदिक्कोणद्वययोगः समकोणद्वयसमानो भवति तदा - खद्वयं समानान्तरं स्यात् । यथा अबरेखया जदरेखया च हह्वरेखा संपातं करोति । तत्र हरु बकोणो बहिर्गतः झवदको णोऽन्तर्गतश्च समानौ कल्पि- ग – तौ । पुनर्बझवकोणझवद- - कोणौ युक्तौ द्वाभ्यां समको णाभ्यां समानौ कल्पितौ । तदा अबरेखा जदरेखासमानान्तरा । भ- विष्यति । अत्रोपपत्तिः। तत्र हझबकोणः अझवकोणसमानोऽस्ति । झवदकोणस्यापि स मानः। अझवकोणझवदकोणावपि समानौ । तदा अबरेखा जद रेखासमानान्तरा जाता । पुनरपि बझवकोणअझवकोणयोर्योगः ३७ द्वयोः समकोणयोः समानोऽस्ति । बझवकोणझवदकोणावपि द्वयोः समकोणयोः समानौ । तस्मात् अज्ञेवकोणझवदकोणौ समानौ जातौ । अबरखाजदरेखे च समानान्तरे जाते। इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथैकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । अस्योपपतिरष्टभिः क्षेत्रेज्ञयते तत्प्रथमक्षेत्रं निरूप्यते । एकाऽभीष्टरेखा कार्या । तदुपर्यभीष्टं चिहं कार्यम् । त स्माद्रेखापर्यन्तमभीष्टा रेखा नेयाः तासु या लम्बरेखा सा सर्व रेखाभ्यो न्यूना भवति । यथा अचिर्दै बजरेखा च कल्पिता । अचिदात् ङ् अबलम्बश्च कृतः। अयं लम्बः सर्वरेखाभ्यो न्यूनोऽस्ति। । अत्रोपपत्तिः । अचिहात् अजरेखा कार्या । तत्र अवजनिक बजे भुजं जातम् । अबजकोणश्च समकोणो जातः। अजबकोणो न्यूनको- णोऽस्ति । अबभुजश्च अजभुजाम्यूनोऽस्ति । इदमेवास्माकमभीष्टम् । अथ द्वितीयक्षेत्रम् । तत्रैकस्यां रेखायां यदि लम्बद्वयं समानं भवति तदा तयोः र्मस्तकलनाऽन्या रेखा कार्या । एवमत्र लम्बरेखासंपातजनितौ कोणौ परस्परं समानौ भवसः । यथा समानौ अबलम्बजदलम्बौ बदरेखायां - पतितौ । तन्मस्सकलमा अजरेखा कृता । तत्र कोणद्वयं समुत्पन्नम् । तत्र बअजकोणदजअ कोणौ समानौ भविष्यतः । अत्रोपपत्तिः । अदरेखा बजरेखा च कार्या । अनयोर्हचिहे संपातो जातः । एवं अबदत्रिभुजे अबभुजः बदनुजः अबदको- *K णश्च द्वितीयत्रिभुजस्य जदबस्य जदभुजदब भुजजदबकोणैः समानः । अदभुजबजभुज च समानौ । अदबकोणजबदकोणावपि स मानौ जातौ । एवं हबदत्रिभुजे हदबकोणह- . बदकोणौ समानौ । तर्हि बहभुजदहशुजौ च समानौ जातौ । पुनः । अहभुजजहभुजौ च समानौ जातौ । तस्माद् अहजत्रिभुजे अह भुजः हजभुजश्च समानौ जातौ । पुनः हअजकोणहजअकोणचैता वपि समानौ जातौ । दअबकोणबजदकोणौ पूर्वं समानौ स्थितौ ।। तस्मात् बअजकोणदजअकोणौ समानौ जाताविति सिद्धम् । इद मेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ तृतीयं क्षेत्रम् । तत्रैकरेखायां लम्बद्वयं समानं भवति तदा तयोर्मस्तक लग्नान्या रेखा कार्या एवं तयोर्लम्बरखान्यरेखासंपातजनितौ कोणौ समकोणौ भविष्यतः। यथा दबरेखायां अबरेखा जदरेखा च प्त लम्बौ जातौ । अजरेखा च कृता । तत्र बअजकोषादजअकोणौ समानावुत्पन्नौ समकोणौ च जातौ । कुतः। यदि हैौ समकोणौ न भवतः तदोभैवधिककोणौ अथवा न्यून- कोणौ भविष्यतः । तत्र यद्यधिककोणौ तदा अचिहात् अहलम्बः १ D. and A, omit अन्यरेखा. २ तदा न्यूनाधिकौ भविष्यतः। D. अजरेखायां नेयः । अयं लम्बः अबजदरेखयोरन्तराले पतिष्यति । तदा अहदकोणः अबहत्रिभुजस्य बहिर्गतः स्यात् । अयं अबहको गादधिको जातःअबहकोणश्च समकोणोऽस्ति । तस्मात् अहदकोणः अघिककोणो जातः । पुनर्हचिहात् इझलम्बो इदखायां नेयः । अयं लम्बः अहजदरेखयोरन्तराले पतिष्यति । तत्र हझजकोणोऽप्यधिक कोणो भविष्यति । पुनर्जीचिहात् अवलम्बः झजरेखोपरि कार्यः व चिहात् वतलम्बश्च वदरेखायां कार्यः। अनेनैव प्रकारेणान्ये लम्बा अपि कार्याः । अझतचिहेभ्यो बदरेखायां निःसृता एते लम्बाः अब- झहतवसंज्ञका ज्ञेयाः । एते पूर्वस्मादुत्तरोत्तरमधिका भवन्ति । सर्वेभ्यो न्यूनः अबलम्बः । कुतः । यतो अबह- ,ज त्रिभुजे बकोणः समकोणोऽस्ति । हको णश्च न्यूनकोणोऽस्ति । अबभुजश्च अह मुबायूनः। एवं अहह्नत्रिभुजे असे सम- १ ' । कोणोऽस्ति । सः न्यूनकोणधास्ति । अहभुजो हलभुजाम्यूनो जातः । एवं इझभुजो झवभुजान्यून जातः । झवभुजोऽपि वतभुजाभ्यूनः । अ- बभुजः अहशुजान्यूनऽस्ति । अहभुजो हलान्यूनः । पुनईलभुजो अवभुजान्यूनः। इत्यं रेखा उत्तरोत्तरमधिका भवन्ति । अजरेखाया बद रेखायाः सकाशादन्तरं जदिश्यधिकं भवति | अदिश्यन्तरं न्यूनं भवति। अथ च दजअकोणोऽप्यधिककोणोऽस्ति। एवं अजरेखायाः बदरेखायाः सकाश | दन्तरं अदिश्यधिकं भवति । प्रथमं साधितं अदिश्यन्तरं स्वल्पमस्तीत्यनुपपन्नम् । वि- देने र्ग लक्षणत्वात् ॥ जो त ० यदि च अजकोणौ न्यूनफोणौ भवतः तदापि पूर्वोकप्रकारेण लम्बाः कार्याः। अजरेखायां बचिह्नालम्बस्यारम्भः कार्यः । एते लम्बा अब जदरेखान्तर्गता भवन्ति । ते च अबहशवतसंज्ञा उत्तरोत्तरं न्यूना एव भवन्ति । अजरेखा जदिशि बदरेखायाः निकटे भवति अदिशि दूर स्थिता च भवति । पुनर्दचिदालम्बाः कार्याः। एवं पूर्वप्रकारेण अजरेखा अदिशि बदखाया निकटे भवति जदिशि दूरस्थिता च भवति । एव मेकरेखा एकस्यां दिशि दूरस्थिता भवति तस्यामेव च निकटस्थिता भव तीत्यनुपपन्नम् । विलक्षणत्वात् । तस्मादुभौ अजकोणौ समकोणौ भवत इति सिद्धम् । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ चतुर्थक्षेत्रम् । तत्र समकोणस्य चतुर्भजस्य परस्परसन्सुखं भुजद्वयं स मानं भवति । यथा अबजदसमकोणचतुर्युबे अबभुजज तुल्यौ स्तः । यदि च समौ न स्तस्तदा एको भुजोऽधिकः न स्यात् । स जदभुजः कल्पितः । अथ दज- 1 रेखायां अबतुल्यं दहं पृथकार्यम् । अह• रेखा च फायो। एवं तत्र बअहकोणदहअ- कोणौ समकोणौ भवतः । यतो अबहदौ । लम्बौ समानौ स्तः । बअजकोणदजअकोणौ समकोणौ कल्पितौ । तस्मात् बअजकोणो बभहकोणश्वैतौ समानौ जातौ । बअहकोणश्च बअजकोणस्य खण्डमस्ति । इदमनुपपन्नम् । ४१ एवमेव अजदकोणः अजहत्रिभुजान्तर्गतः अहदकोणश्च त्रिभु बाद्वहिर्गतः एतावपि समानौ स्याताम् । इदमप्यनुपपन्नम् । तस्यात् अबजदभुजावेव समामावित्युपपन्नम् । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ पञ्चमं क्षेत्रम् । तत्रैकरेखायां लम्बवयं कार्यमन्या रेखा लम्बद्वये यथा संपातं करोति तथा कार्यं तत्रोस्पर्स प्रतिलम्बं कोणचतुष्टयं तत्र लम्बस्यैकदेरयुत्पन्नः कोणः द्वितीयलम्बस्यान्यदिश्यु त्पलेन कोणेन समः स्यादेवमेकलम्बस्य बहिर्गतकोणो द्विती यखम्बस्यान्तर्गतकोणेन च सम पुनरेकलम्बस्यान्तर्गतकोण द्वितीयलम्बस्यान्तर्गतकोणधानयोर्योगः समकोणद्वयेन स मनः । यथा सदरेखायां इझजदलम्बौ पतितौ । तत्र अबरेखया संपातः कृतः । पुनर्वतचिह्नयोर्देवतकोणहतव- / कोणीौ समानौ स्तः। अवजकोण बहिः- ` स्थः अतइकोणोऽन्तर्गतवैतौ समानौ स्तः। हतवकोणजबतकोणयोर्योगः स -) मकोणद्वयेन समानोऽस्ति । अत्रोपपत्तिः । तत्र तझरेखावदरे यदि समे तदा तयोः कोणचतुष्टयं सम कोषमेव स्यात् । तदास्माकमभीष्टसिद्धिरेव । यदि तन्नरेखा वदरेखा समाना न भवति किं तु वदमधिकं स्यात् तदा दवरेखायां अततुल्या दकरेखा पृथुकार्या । कतरेखा च कार्या । कवतुल्या तलरेखा पृथक्कार्या । वलरेखा कार्या । एवं तत्र वलतक समकर्ण चतुर्द्धजं जातम् । वलतत्रिभुजे वलभुजो लतभुजो ल्को णश्च वकतत्रिभुजस्येन तकभुजेन कवभुजेन कफोणेन च समानः । पुनः कवतकोणः वतलकोणचैतौ समानौ जातौ । एवं तवककोणः २ अवजकोणेन समः । अवजकोणवतहकोणौ समानौ । पुनः जवत- कोणअवजकोणयोयोंगो द्वयोः समकोणयोः समानः । पुनः जवत कोणो वतहकोणश्च एतावपि द्वयोः समकोणयोः समानौ जातौ । इद म् । तदेवं सिद्धे या रेखा लम्बद्वयोर्मध्ये एकसिलम्बे लम्बरूपा भवति सा द्वितीये लम्बेऽपि लम्बरूपा भवत्येव । अथ षष्ठं क्षेत्रम् ॥ यत्र रेखाद्वयसंपातेन समुत्पन्नकोणचतुष्टयं तद्यदि सम- कोणं न भवति तदैकरेखोपरिस्थापितलम्बो न्यूनकोणदिशि द्वितीयरेखया संपातं करिष्यति । यथा अबरखाजदरेखासंपातो हचिहे जातः । अहजकोणश्च न्यूनकोणो जातः । जहबकोणोऽधिककोणो जातः । तत्र जदरेखायां इवलम्बो निष्काश्यः । अयं लम्बः अदिशि अबरेखायां संपातं करिष्यति । अत्रोपपतिः । अहरेखायां तचिहं कार्यम् । तकलम्बो जदे कार्यः । अयं लम्बो | इहचिहयोर्मध्ये पतिष्यति वा इचिहे पतिष्यति वा इचिहाद्वहिः पतिष्यतीति विचार्यम् । यदि आइमध्ये पतति तदाऽन्या रेखा कार्या । तस्या हकतुल्या विभागाः कार्याः । तत्र याव - - अ न्तो विभागा हझे भवन्ति | N तेभ्योऽधिका विभागाः कार्याः। ते च सततशशछछखसंज्ञ बरे ईमें के इ का भवन्ति । अहरेखायां च तज्ञ छ—ख हततुल्यं तसं सअं अफं समानं कार्यम् । पुनः सअफ़चिहेभ्यः ४ ३ सललम्बअमलम्बफनलम्बा जदरेखायां कार्याः । तचिहात् तयलम्बः सललम्बोपरि कार्यः । एवं हतकत्रिभुजे हतककोणः तसयकोणचैतौ कोणौ समानौ । पुनः इकत- कोणतयसकोणौ समानौ । हतभुजः तसभुजेन समानः यतलकावेतौ भुजौ समानौ । ज ने इन डे के रूप लकः हकलैतावपि समानौ सतरा छत्र बातौ । एवं लमः मनश्चैतौ समानौ जातौ । एवं हनस्य यावन्तो विभागाः परस्परं समाना भवन्ति खसविभागतुल्याश्चैव भवन्ति । पुनः हनरेखाखसरेखे च समाने । खसमधिकं हझात् । हैनमधिकं इझात् । पुनः फनलम्बो झहचिहाद्वहिर्जातः । वझलम्बः फनह त्रिभुजान्तर्जातः । पुनः वझलम्बो वर्द्धितः फहभुजे संपातं करोति । पुनः अबरेखायाः संपातं करिष्यति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ पुनः तकलम्बो झचिहे यदा भविष्यति तदा वझतकावेकत्र भवि ष्यतः। तदा संपातोऽपि भविष्यत्येव । यदि तकलम्बो झहचिहाद्व हिर्भविष्यति तदा वझलम्बः तकहत्रिभुजान्तर्भविष्यति नियमेन च संपातं करिष्यतीति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ सप्तमं क्षेत्रम् । तत्र द्वयो रेखयोस्तृतीया रेखा संपातं यदि करोति तदा न्तर्गतौ द्वौ कोणावेकादि। द्वयोस्समकोणयोर्यदा न्यून भवतस्तदा रेखाद्वयं तस्यामेव दिशि संपातं करिष्यति । यथा अबरेखायां जदरेखायां हझरेखया संपातः कृतोऽस्ति । तत्र अहह्कोणोऽन्तर्गत एकदिकैको जझहकोणोऽन्तर्गत तद्दिक एव द्वितीयश्चैतैौ द्वौ कोणौ द्वयोः समकोणयोर्मुनौ स्तः । अतः अबरेखा बदखाया अजदिशि संपातं करिष्यति । • A, B. K. omit इनमधिकं हतात् । 0e अत्रोपपतिः । कथितकोणयोर्मध्ये एकः कोणः समकोणोऽस्ति वाऽधिककोणोऽति वा न्यूनकोणोऽस्ति । यद्येकः समकोणस्तदा | द्वितीयो न्यूनकोणः स्यात्। । तत्र रेखाद्वयं कोणदिश्यवश्यं मिलिष्यति । यद्येककोणोऽधिक कोणस्स च अहह्नकोणः कल्पितः। पुनः हचिन्हात् हवल- : अबोपरि क स्बोदयः सचिझाच अबोपरि शत-- - लम्बोदयः कार्यः । एवं तझलम्बह वलम्बयोईझरेखया संपातः कृतः । तदा वहझकोणतज्ञहकोणौ समानौ भवतः । अहह्नकोणहझजकोणौ समकोणद्वयाभ्यां न्यूनौ स्तः । पुनः अहवकोणः समकोणोऽस्ति । तेन वहझकोणहश्वकोशौ मिलितौ चैकस्मात्समकोणाद्यूनौ भविष्यतः। तदा इझताकोणो हप्तवकोणचैकस्मात्समकोणाद्यूनो जातः । पुनः अतझकोणः समकोणोऽस्ति तदा अबरखाजदरेखे अजदिशि मि पुनर्यदि द्वौ कोणौ न्यूनौ भवतस्तदा हचिहात् जदरेखोपरि हवलम्बोदयः श्नचिह्नात् जदरेखोपरि झतलम्बः कार्यः । तत्र जहकोणो ॥ झहवकोणचैतयोर्योगः जमातकोणस मोऽस्ति । यतो जहातकोणः समको - जीव णोऽस्ति । पुनः जझहकोणझहवकोणयोर्योगः एकः समकोणः । एतौ कोणौ । अहझकोणजझहकोणयोः शोधितौ। शेषं अहवकोण न्यूनकोणो जातः । जवहोणः समकोणश्ववशिष्टोऽस्ति । तेन अबरेखा जदरेखायोगः अजदिशि भविष्यति । प्रकारान्तरम् । यदि वै कोणौ अहङ्कजश्च न्यूनौ तदा हचिहात् हस् रेखोपरि हकलम्बोदयः च तदा कहझकोणः समकोणः स्यात् इझजकोणश्च न्यून जे ई कोणः स्यात् । तदा हकरेखा झजरेखयोर्योगो जदिशि भविष्यति । पुनः इअरेखा झजरेखयोयोगोऽपि जदिशि भविष्यति ॥ अथ सप्तमक्षेत्रस्य प्रकारान्तरमष्टभिः क्षेत्रैरुच्यते । तत्र पत्रक्षेत्राणि पूर्वोक्तान्येव ज्ञेयानि । षष्ठमुच्यते । तत्र न्यूनकोणसंबन्धैकभुजस्य समाना अभीष्टा विभागाः कार्याः । तत्र चिहानि कार्याणि । चितेभ्यस्तत्कोणसंबन्धि- द्वितीयभुजे लम्बाः कार्याः । एते लम्बा द्वितीयभुजस्यापि स माना विभागाः करिष्यन्ति । यथा बअबफोणो न्यूनकोणोऽस्ति । तस्य अबभुजस्य अददह इहविभागाः समानाः कृताः । पुनः दहझचिभ्यो अजभुजोपरि दवहतहयलम्बा निष्कासिताः। एतैर्लम्बैः अजभुजस्य अवघततयः संज्ञा विभागाः समानाः कृताः। अत्रोपपत्तिः तत्र इदखायाः दचिहोपरि हदककोणः अकोणसमानः कृतः। दकरेखया च इतरेखायाः कचिहे व संपातः कृतः । पुनः अवदत्रिभुजे दकहत्रिभुजे अझणो हदककाणे ३॥ न समः । अदवकोणश्च दहकको- नेन समः । अदभुजश्च दहशुजेन समः । तस्मात् अवभुजो दकभुजेन समानो भविष्यति । अथ अषदकोणः समकोणो यद्यस्ति दकहक णेन तुल्योऽप्यस्ति तदा दकहकोणोऽपि समकोणो जातः । तेन दक ४ ६ तवसमकोणचतुर्द्धजं जातम् । दकभुजो वतभुजेन तुल्यो जातः। अवभुजोऽपि वतभुजेन तुल्यो जातः । एवं तयभुजः अवभुजेन तुल्यो भविष्यति । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ अथ सप्तमं क्षेत्रम् । तत्रैककोणस्य भुजद्वयान्तश्चिहं यदा भवति तदा तद्धि हस्पृष्टा रेखा भुजद्वयसमानसंज्ञेना कर्तुं शक्यते । यथा दचिहं अबजकोणस्य अबबजभुजयोर्मध्येऽस्ति । तत्र बकेन्द्रं कृत्वा बदतुल्येनाद्भव्यासेन हदद्भ चापं कार्यम् । हझरेखा च कार्या । पुनः हब झकोणस्य बवरेखया विभागद्वयं कार्यम् । द्वौ विभागौ न्यूनकोणौ भवतः। हबवत्रिभु जे झबवत्रिभुजे च हबभुजो बवभुजो हरा । न बवकोणो झबभुजेन बवभुजेन झबवकोणे- में न च समानः । पुनः बबइकोणो बवझकोण चैतौ समानौ जातौ।तेनैतौ कोणौ समकोणौ जातौ ।पुनः बवरेखा यचिहपर्यन्तं कार्या । इयं रेखा हदझचापे तचिहे संपातं करिष्यति । बवरेखा च द्वचादिगुणिता तथा वद्धता कार्या यथा बवतरेखयाऽधिका भवति । सा रेखा अससंज्ञा “न्यत्र कल्प्या । पुनः बअभुजे एकादिगुणितबहतुल्या विभागाः कार्याः । ते च बहहक संज्ञाः कल्पिताः । पुनः हकचिहाभ्यां बयरेखोपरि हवलम्बः कलल- म्बश्व कार्यः । एतौ लम्बौ बयरेखायाः बववलविभागौ समानौ करि ष्यतः । एतौ विभागैौ असविभागाभ्यां समानौ जातौ । तेनैतौ मि लितौ विभागौ बतादधिकौ भविष्यतः । तस्मात् कललम्बो बतरेखायाः १ ०समानां लग्न D. A. K. omit भुजद्वयसमानसंलमा. २ ज्ञेया for अन्यत्र कल्प्या K. ४७ बहिः पतिष्यति । पुनः बजभुजात् बकतुल्यं बमं पृथक्कार्यम् । लम रेखा कार्या। एवं बकलत्रिभुजे बमल त्रिभुजे कबभुजो बलभुजः कबलकोणश्च मबभुजेन बलभुजेन मबलकोणेन समा नोऽस्तीति । बलककोणबलमकोणौ सस 11 । मानौ भविष्यतः । पुनः बलककोणः | | | समकोणोऽस्ति । बैलमकोणोऽपि समको हे णोऽस्ति । तेन कलमरेखा सरलाऽस्ति । पुनः बदरेखा नपर्यन्तं कार्या। दचिहोपरि नदरेखायाः दनलकोणेन समः नदफकोणः कार्यः । तदा फद- कमरेखे समानान्तरे जाते । पुनः फदरेखा बैकनत्रिभुजाद्यथा बहिर्गता भविष्यति तथा वद्धिता कार्या । बकभुजस्य फचिहे बमभुजे छचिहे च संपातं करिष्यति । फदछरेखा च दचिहगता अब बजभुजयोः संलग्न जाता । इदमेवास्माकमिष्टम् ॥ तत्र रेखाद्धयोपयैका रेखा यदा संपातं करोति तदा तदन्त गीतकोणद्वययोरेकदिकयोर्योगो यदि द्वयोः समकोणयो- ऍन भवति तदा रेखाद्वयं तद्विश्येव संपातं करिष्यति । यथा अबजदरेखे तदुपरि तृतीया रेखा बदसंज्ञा संपातं करोति । तत्र अबदकोणो जदबकोण आनयोयोंगो द्वयोः समकोण योन्टॅनोऽस्तीति कल्पितम् । तदा रेखाद्वयं अजदिश्येव सं- स च में है पातं करिष्यति ॥ क/ । • omitted in D. १ A. B. K have बकम अत्रोपपत्तिः । = बदरेखा उभयत्र हचिहझचिहपर्यन्तं दीर्घ कार्या । बअरे दायां बदतुल्या बवरेखा पृथ कार्या । तत्र अबदकोणो जद बकोणयुक्तो द्वयोः समकोणयो ऍनोऽस्ति । अबहकोणयुक्तो न य'¥डू द्वयोः समकोणयोः समानः । तेन अबहकोणो जदबकोणादधिकः । पुनर्बचिहोपरि बवरेखायाः सकाशात् जदबकोणतुल्यः वबतकोणः कार्यः। तबबझरेखे बकोणसंबन्धिभुजे ये तयोः संपातं कुर्वती वचि इगता तवयरेखा कार्या । ततः तवबकोणो वबदकोणादधिकः स्यात् । पुनर्वचिहोपरि अबदकोणतुल्यो बवककोणः कार्यः । तत्र बकरेखा तथा वज्ञिता कार्या यथा तबरेखायां कचितोपरि संपातं करोति । तदनन्तरं अबजदरेखासंपातो भविष्यति । अत्रोपपत्तिः । वबरेखायां बदरेखां स्थापयेत् तदा दजरेखा बकरेखायां स्था स्यति । बअरेखा वकरेखायां च पतिष्यति । तस्मात् अबरेखा जदरे खयोः संपातो भविष्यति । इत्यष्टौ क्षेत्राणि समाप्तनि ॥ अथैकोनत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ॥ समानान्तररेखयोर्यदि तृतीया रेखा संपातं करोति तत्रै ककोणोन्तर्गतोऽभीष्टदिश्युत्पन्नो द्वितीयरेखान्तर्गतकोण द्वितीयदिक्क” एतौ समानौ भवतः। एवं बहिर्गतकोणो द्वि तीयरेखाया अन्तर्गतकोणेन समानो भवाति । एवमेकदिक मन्तर्गतकोणद्वयं द्वयोः समकोणयोः समानं भवति । ( = ) | ४९ यथा अबरेखायां जदरेखायां इफावरेखया संपातः कृतोऽस्ति । तत्र अझवकोणदवझकोणश्चैतौ समौ कोणौ भविष्यतः । अथ यदि समानौ न भविष्यतः तदा अभव कोणोऽधिककोणः कल्पितः। पुनः ब == = न शवकोणस्य अझवकोणेन योगः - कार्यः दवझकोणेनापि योगः कार्यः । तत्र प्रथमयोगः द्वयोः समकोणयोः समानः द्वितीययोगादधिको भ वति । तदा द्वितीययोगः द्वयोः समकोणयोर्जुनो जातः । यथा अब जदरेखयोः इफावरेखया संपातः कृतः तत्र बसवकोग्रदवसकोण योयोंगो द्वयोः समकोणयोर्जुनो जातस्तदा अबरखाजदरे बददिशि मिलिष्यतः । पुनः हझबकोणो । हवदकोणेन समानोऽस्ति । कुतः । हझबको अश्वकोणयोः समानत्वात् । पुनः बसवकोणदवझकोणयोर्योगो द्वयोः समकोणयोः समानो अस्ति । कुतः। बझत्रकोणअभत्रकोणयोगस्य द्वयोः समकोणयोः समानत्वात् । पुनः दवझकोणअसबकोणौ समानौ जातौ । इदमे. वास्माकमिष्टम् ॥ अथ त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र यावत्यो रेखा एकरेखायाः समानान्तरा भवन्ति ता । रेखाः परस्परं समानान्तरा एव भविष्यन्ति । यथा अबरखा जदरेखा च हझरेखायाः समानान्तरास्ति तदा अब रेखा जदरेखा च परस्परं समानान्तरा भविष्यति । वतकरेखया तिसृणां रेखाणां संपातः | • This sentence is omitted in A. B. → ० ० ० ० ० ० २ ० ० ० ० ० ० ० ० ० ० ० ० २ ० ० ० ० ," " • १० कृतः । तत्र अबरेखा हझरेखा च परस्परं समानान्तरास्ति तदा अवतकोणझत वकोणचैतौ समानौ भविष्यतः । पुनः न = जदरेखा हझरेखा च समानान्तरास्ति तदा दकतकोणोऽन्तर्गतो झतवकोणो बहिर्गतश्चैतौ समानौ भवि यतः । तदा अवककोणदकवकोणौ समानौ जातौ । तदा अबरेखा जदरेखा परस्परं समानान्तरा जाता । इदमेवास्माकमिष्टम् ॥ अथैकत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्राभीष्टरेखायाः कियदन्तरे चिहं कृत्वा तत्रतसमा नान्तररेखा कभु चिकीर्षितास्ति । यथा बजरेखाया अचिहगता रेखा समानान्तरा कर्तव्याति । व तत्र बजरेखायां दचिहुं कार्यम् । --- अचिहात् दचिहपर्यन्तं रेखा नेया । अचिहे अदजकोणतुल्यः दअहकोणः कार्यः । पुनहेअरेखा झपर्यन्तं नेया । तदा हझरेखा जबरेखायाः समानान्तरा जाता । इदमेवेष्टम् ॥ अथ द्वात्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्रेष्टत्रिभुजस्यैको भुजो वर्जनीयः पुनस्तत्रैव यो बहिः स्थितः कोणः स सन्मुखान्तर्गतकोणद्वययोगेन समानो भ- वति । अन्तर्गतकोणत्रययोगोऽपि द्वयोः समकोणयोः समानो भवति । यथा अबजत्रिभुजे बजभुजो दपर्यन्तं वर्धितः तत्र अजदकोणो बहिःस्थः बअकोणद्वययोगेन समानोऽस्ति । ह। अ / यतो जचिहात् बअरखायाः समानान्तरा जहरेखा कार्या । तत्र अजहकोणो बअज कोणेन तुल्यो जातः । हजदकोणश्च बको- द जब ११ णेन तुल्यो जातः । तदा अजदकोणो बहिःस्थः बअकोणद्वययोगेन तुल्यो जातः । पुनः अजदकोणः अजबकोणयुक्तो द्वयोः समकोणयोः समानोऽस्ति । तदान्तर्गतकोण त्रययोगो द्वयोः समकोणयोः समानो जातः । ६ । इदमेवास्माकमभीष्टम् ॥ पुनः प्रकारान्तरम् । तत्र अचिहात् बदरेखायाः समानान्तरा अग्नरेखा कार्या । तदा अबकोणो बको णेन तुल्यो जातःपुनः झअजकोणः अजद- - ) कोणेन तुल्यो जातः । तदा अजदकोणः अबकोणयोस्तुल्यो जातः । इदमेवेष्टम् ॥ अथ त्रयस्त्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र रेखाद्वयं समानं समानान्तरं चास्ति तदग्रयोः संल श रेखा कार्या एवं द्वितीयाग्रयोः संलग्नरेखायास्तद्रेखाद्वयं समानं समानान्तरं भवति । यथा अबरेखाजदरेखे समाने समा• अ लग नान्तरे च स्तः । तदा तदप्रयोः अज रेखाबदखे च कृते । एते रेखे समाने l , समानान्तरे च भविष्यतः । अत्रोपपत्तिः। बजरेखा कार्या । तदा अबजत्रिभुजे बजदत्रिभुजे च अबभुजो बजभुजः अबजकोणश्च दजभुजो बजभुजो दजबकोणचैते यथा क्रमेण समानाः स्युः । तदा अजभुजो बदभुजेन समानो जातः। पुनः अजबकोणः दबजकोणचैतौ समानौ स्तः । ततः अजको बदभुजेन समानान्तरो जातः। इदमेवास्माकमिष्टम् ॥ ६२ पुनः प्रकारान्तम् । अदरेखा बजरेखायां हचिहे संपातं यथा करोति तथा कार्या । तत्र अहबत्रिभुजे जहदत्रिभुजे च अहबकोणो त्र जहदकोणेन समानोऽस्ति । पुनः अबहकोणः दब हकोणश्चैतौ समानौ स्तः। अबभुजो जदभुजसमा नोऽति । तदा अहभुजदहभुजौ समानौ जातौ । ’ तदा बहभुबजहभुजौ च समानौ जातौ । पुनः अहजत्रिभुजे बह दत्रिभुजे च अहसुजो हजभुजः अहजकोणश्च दहभुजेन बहनु जेन बहदकोणेन च यथाक्रमं समानः । एवं अजभुजबदभुजौ समानौ जातौ । पुनः अजहकोणदबहफोणौ समानौ जातौ । तदा अजभुजो बदभुजेन समानान्तरो जातः। इदमेवास्माकमिष्टम् ॥ अथ चतुर्विशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र यस्य चतुभंजक्षेत्रस्य भुजाः समानान्तरा भवन्ति तस्य परस्परसम्मुखं भुजद्वयं समानं भवति तथा परस्परः सन्मुखं कोणद्वयं च समानं भवति तत्कर्णश्च क्षेत्रस्य समानं भागद्वयं करोति । यथा अबजदचतुभुजक्षेत्रस्य बदकर्णः कल्पितः । अत्रोपपतिः। अदबकोणो जबदकोणेन समः । पुनः अबदकोणः जदबकोणेन समः। एवं अदबत्रिभुजे जबदत्रि- अ ज भुजे च अदबकोणः जबदकोणश्चै तौ समानौ स्तः । पुनः अबदकोणः जदबकोणचैतौ समानौ जातौ । न बदभुजश्चोभयोस्त्रिभुजयोरेक एव । तर्हि अदभुजबजभुजौ समानौ । अबभुजजदभुजौ च समानौ । पुनः अकोणजकोणौ समानौ जातौ । अदजकोणजबअकोणौ च समानौ । एवं द्वौ त्रिभुजौ समानौ । तदा बदकर्णेन चतुर्मुजस्य भागद्वयं समानं कृतमित्युपपन्नम् ॥ प्रकारान्तरम् । यदि अबभुजः जदभुजेन समानो न स्यात् तर्हि जहभुजेन समानः स्यात् । तत्र अहरेखा कार्या । एवं अहरैखा बजरेखायाः समानान्तरा भविष्यति । पुनर्बजरेखा ६ अदरेखायाः समानान्तरास्ति । तदा अहरेखा अदरेखा समानान्तरा जाता । इदं बाधितम् । अथानेन प्रकारेण अदरेखा बजरेखायाः समाना भवति । यदि बअदकोणः बजदकोणेन समानो न भवति तदा बअहोणो बजदकोणेन समानः स्यात् । तत्र अजरेखा कार्या । तदा बअज- कोणइअकोणौ समानौ । तदा जअइकोणः अजबफोणेन स मानो जातः । जअदफोणः अजबकोणेन समानोऽस्ति । इदमप्य नुपपन्नम् । एवं बकोणो दकोणेन समानोऽस्ति । पुनः अदजत्रिभुजं अबबत्रिभुजेन समानम् । इदमेवास्माकमिष्टम् ॥ अथ पञ्चत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र चतुर्युजक्षेत्रद्वयं समानान्तरभुजमेकस्यां भूमावेक दिशि च भवति द्वयोः समानान्तररेखयोर्मध्ये च भवति तच तुभुजद्वयं समानं भवति । यथा अबजदचतुर्युजं हबजश्चतुर्मुजं चैते वै चतुर्युजे अक्ष रेखाबजरेखयोर्मध्ये बजरेखोपरि स्तः ते अ इ इ इ च समाने स्तः। अत्रोपपतिः । अदभुजः हप्तभुजश्च बजभुजेन समा- ४ - / नोऽस्ति तदा अदभुजः हझभुजयैतौ अ इ इ समानौ जातौ । पुनर्दहरेवा अदरे- [ खायां झहरेखायां च युक्ता कार्या । तदा हअबत्रिभुजे झदजत्रिभुजे अहभुज- ¥ ॐ अदभुजौ च समानौ। पुनः अबभुजजदक्षु समानौ । पुनबे अहकोणजदझकोणौ समानौ । तदैते वै त्रिभुजे समाने जाते । पुनरनयोस्त्रिभुजयोः दवहत्रिभुजं दूरीक्रियते बबजत्रिभुजं च योज्यते तदा अबजदचतुभुजं हबजझचतुर्भजं चैते समाने भविष्यतः । म् ॥ अथाऽस्मिन्क्षेत्रे हचिहं अदाद्वहिः पतिष्यति - झ तदा बहजदौ संपातं करिष्यतः। अथवा है चिहं दचिहे पतिष्यति । अबअदयोर्मध्ये वा पतिष्यति । अनयोः प्रकारान्तरकृतक्षेत्रयोः प्रथ मत्रिभुजे लघुत्रिभुजदूरीकरणं नास्ति त्रिभुज योगः कर्तव्योऽस्ति । द्वितीयक्षेत्रे चतुभुजं युक्तं - [ कार्यमेतावान् विशेषः । अथ षत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । ?’ तत्र हे चतुर्युजक्षेत्रे समानान्तरभुजे एकदिशि द्वयोः समानान्तररेखयोर्मध्ये समानभूमिके यदा भवतस्तदा ते वे चतुर्युजक्षेत्रे समाने भवतः। यथा अबजदचतुभुजं हझवतचतुभुजं च अतबवरेखयोर्मध्ये बजझवसमानभुजोपरि भवतस्ते च समाने अहनत एव भवतः । बहरेखा ज़तरेखा च कार्या । एते रेखे समाने समानान्तरे च भवि ९ ष्यतः। कथम् । बजरेखाहतरेखे च । इ त्र समाने समानान्तरे च स्तः । पुनः अ \ / बजदचतुर्मुजं हबजतचतुभुजं चैते स- वैन माने स्तः।यतः अतरेखाबजरेखयोः समानान्तरयोर्मध्ये एकभुजोपरि तिष्ठतः । पुनर्हझवतचतुभुजं हबजतचतुभुजं चैते समाने । तदा अ बजदचतुर्मुखं इझवतचतुर्युजं चैते समाने जाते ॥ इदमेवास्या- कमभीष्टम् । अथ सप्तत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । त्रिभुजद्वयमेकभुजोपर्येकदिशि द्वयोः समानान्तररेखयो- र्मध्ये यदा भवति तदा तत्रिभुजद्वयं समानं भवति । यथा अबजत्रिभुजं दबजत्रिभुजं च बजभुजोपरि अदबजस मानान्तरेरेखयोर्मध्येऽस्तीति । तस्मात्रिभुजद्वयं समानं जातम् । बचिहात् जअरेखायाः समानान्तरा बहरेखा कार्या । पुनर्जीचि हात् बदरेखायाः समानान्तरा = का जस्ररेखा कार्या । पुनः अद रेखा दिग्द्वये तथा वद्धिता कार्या यथा निष्कासितरेखा द्वयसंपातं करोति । तदा हबजअचतुभुजं दबजश्चतुर्मुजं च बज भुजोपरि समानान्तरयोर्हमरेखाबजरेखयोर्मध ध्ये तिष्ठति । तदैते दो चतुर्युजे समाने जाते । अनयोरद्रे द्वे त्रिभुजे समाने जाते । इद मेवेष्टम् ॥ अथाष्टत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् । हे त्रिभुजे समानभुजद्वयोपवेंकदिशि द्वयोः समाना- न्तररेखयोर्मध्ये यदा स्यातां ते हे त्रिभुजे समाने एव भवतः। १६ यथा अबजत्रिभुजं दहक्षत्रिभुजं बजइझसमानभुजोपरि बझअ- दसमानान्तररेखयोर्मध्येऽस्ति तस्मात्ते समाने जाते । अत्रोपपत्तिः । बचिहात् जअरेखायाः स- ग रक्ष मानान्तरा बवरेखा कार्या । इचिहात् हदखायाः समानान्तरा झत- रेखा कार्या। अदरेखा दिग्द्वये वद्धिता तथा कार्या यथा वतचिद्वयोः संपातं करोति । एवं बजअवचतुर्मुखं दहशतचतुर्भजं वजहन्नस मानभुजोपरि समानान्तररेखयोर्मध्येऽस्ति । तदेते चतुभुजे समाने जाते । तदैतयोरद्वै त्रिभुजे समाने भवतः । इदमेवेष्टम् ॥ अथैकोनचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । त्रिभुजद्वयं समानमेकदिशि स्थितमेकभुजोपरि यदि भवति तत्रिभुजद्वयं द्वयोः समानान्तररेखयोर्मध्यवर्ति भविष्यति। यथा अबजत्रिभुजदबजत्रिभुजे बजभुजोपरि स्थिते ।पुनः अदरे खा कार्या । सा बजरेखायाः समानान्तरा । भवति । यदि समानान्तरा न स्यात् तदा अहरेखा बजरेखासमानान्तरा स्यात् । हजरेखा कार्या । तत्र हबजत्रिभुजं में ज अबजत्रिभुजेन समानम्। अबजत्रिभुजं दबजत्रिभुजेन समानम् । तदा ह्बजत्रिभुजं दबजत्रिभुजेन समानं जातं खण्डस्य साम्यात् । इदमनुपपन्नम् । तस्मात् अदरेखा बजरेखायाः समानान्तरा जाता । इत्युपपन्नम् । अथ चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र समान त्रिभुजद्वयमेकरेखायां समानभुजद्वयोपरि भवति तत्रिभुजद्वयं द्वयोः समानान्तररेखयोर्मध्यवर्ती भवति । १७ यथा अबजत्रिभुजं दहझत्रिभुजं बजभुजहझभुजयोरुपरि ब रेखायामस्ति । ज ह अदरेखा कार्या । इयं रेखा बझरेखायाः समानान्तरास्ति । यदि समानान्तरा न स्यात् तदा अवरेखा समा अ नान्तरा स्यात् । वक्षरेखा कार्या । तदा | वहऋत्रिभुजं दहक्षत्रिभुजं चैते । समाने स्यातां स्वखण्डस्य समत्वात् । इदमनुपपन्नम् । अथैकचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । चतुभुजं त्रिभुजं चैकदिश्येकभुजोषरिस्थितं द्वयोः समा नान्तररेखयोर्मध्यवचि भवति तदा चतुर्थी त्रिभुजाद् द्विगुणं भवति । यथा अबजदचतुभुजं हबजत्रिभुजं बजभुजोपरि अहबजस मानान्तररेखयोर्मध्यवर्यस्ति । तस्मात्रिभुजाद्विगुणं जातम् । अत्रोपपत्तिः । अजरेखा कार्या । एवं अबजदचतुर्युजं अबजत्रिभुजाद्विगुणमस्ति। पुनः अबजत्रिभुजं हबजत्रिभुजेन समान- ओ * - मस्ति । तदा अबजदचतुभुजं हबजत्रिभु N द्विगुणं जातम् । चतुर्युजं त्रिभुजं च द्वयोः समयोभुजयो- " रुपरि स्थितमेकदिशि द्वयोः समानान्तररेखयोर्मध्यवर्ति भवति तदापि चतुर्युजं त्रिभुजाद्विगुणं भवति ॥ अथ द्विचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्रैकं त्रिभुजं ज्ञातमस्ति एककोणश्च ज्ञातोऽस्ति ताभ्यां १ स्यातां च खण्डस्य समानत्वात् D. ४९८ तादृशचतुर्युजचिकीर्षास्ति यस्य फलं शतत्रिभुजफलसमं स्यात् यस्य च कोणः कल्पितकोणसदृशः स्यात् । यथा अत्र त्रिभुजं अबी कोणो दसंज्ञश्चास्ति । तत्र बजभुजो हचिहेऽद्भुतः कार्यः । अहरेखा । मज देया । हजरेखायां हचिन्नोपरि द कोणतुल्यः जहझकोणः कार्यः । अचिहात् बजरेखायाः समाना न्तरा अवरेखा कार्या । इयं झचिहे संपातं करिष्यति । पुनर्जचिहात् झहरेखायाः समानान्तरा कार्या । इयं च अवरेखायां वचिहे संपातं करिष्यति । तदा शहजव चतुभुजं समानान्तरभुजं अहजत्रिभुजाद्विगुणं जातं अबजत्रिभुजस मानं जातं सहजकोणश्च दकोणतुल्यो जातः । इत्युपपन्नम् ॥ अथ त्रयश्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र चतुर्भजद्वयं समानान्तरभुजं समानान्तरभुजमहच्चतुः- भुजमध्यवर्ती चेद्भवति यस्य च बृहच्चतुर्थेजकर्णरेखायाः एकं पूर्वदिशि द्धितीयमपरदिशि च कर्णरेखासंलग्नं भवति तयोरेकः कोणो बृहचतुर्युजकोण एव भवति एतादृशं चतुभुजद्वयं मिथः समानं भवति । यथा अतझहचतुर्मुजं झकजवचतुभुजं च अबजदचतुर्भजम ध्यवर्ति बदकर्णस्योभयदिशि स्थितं कर्णस्य झचिहे आहे ? लभम् । तदाऽनयोः अकोणजकोणौ बृहचतुर्मु जस्य है कोणौ स्तः । तस्मादेतौ समानौ जातौ ॥ " तबकझचतुर्मुखं हझवदचतुर्युजं चैतौ समानान्तरभुजौ स्तः । पुनः अबदत्रिभुजं बजदत्रिभुजं बृहच्चतुर्मुजस्य समानं भागद्वयमस्ति । पुनः तबक्षत्रिभुजं बकत्रिभुजं तब कप्तचतुभुजस्य समानं भागद्वय१९ मति । पुनर्हशदत्रिभुजं सवदत्रिभुजं चैते हप्तवदचतुभुजस्य समाने द्वे भागे स्तः। यदि अबदत्रिभुजात् तबझत्रिभुजं हझद- अर्हद्र त्रिभुजं च शोध्यते तदा शेषं अतझहचतुभुजे स्यात् । एवं दबजत्रिभुजात् बकझत्रिभुजं इव दत्रिभुजं शोध्यते तदा शेषं झकजवचतुर्भजं ब८ के पूर्वशेषचतुर्धजसमं स्यात् । इदमेवेष्टम् ॥ अथ चतुश्चत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र कल्पितैकरेखायां कल्पितत्रिभुजे कल्पितैककोणे च ता दृशं चतुभुजं कल्प्यते यस्य फलं त्रिभुजफलसमं स्यात् यस्यैक कोणः कल्पितकोणसमश्च यस्यैकभुजश्च कल्पितरेखातुल्यः स्यात् । तत्र कल्पितरेखा अबरूपा त्रिभुजं जदहरूपं कोणस्तु झसंज्ञः । तत्र वबकतचतुभुजं कल्प नीयं विसृजसमं पूर्वोकवत् / यस्यैककोणः पूर्वकोणसमः कल्प्यः तथा यथा अबक- ई - हे लों सर्वेकरेखा भवति । पुनः अबोपरि लअबवचतुर्मुजं समानान्तरभुज कार्यम् । तत्र लबकणें दीर्घ देयः । तकरेखापि तथा दीर्घ कार्या यथा रेखाकण मचिहोपरि लभौ स्तः । पुनर्मचिहात् कअरेखास मानान्तरा मनरेखा कार्या । पुनर्लअरेखा वबरेखा च तथा दीधे कार्ये यथा नमरेखायां नसचिहोपरि संलग्ने स्तः । तत्र । तनचतुभुजं समानान्तरभुजं जातम् । नबचतुर्भजं तबचतुर्युजं च तनचतुर्भ जस्य मध्ये द्वयं समानान्तरभुजं जातम् । तदा बनचतुभुजं अब- भुजोपरि बतचतुर्द्धजसमं जातम् । बतचतुर्युजं च पूर्वं जदह त्रिभुजसमं कल्पितम् । पुनः अबसकोणो वबककोणसमो जातः । पुनर्वबककोणो झकोणतुल्यो जातः। स एवेष्टः कल्पितः पूर्वम् ॥ अक अथ पञ्चचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र कल्पितैकरेखोपरि चतुर्भजं समानान्तरं तथा । कर्दव्यमस्ति यथेष्टचतुर्मुबसमानं स्यात् तस्य च काणः अभीष्ट कोणसमानः स्यात् तस्यैकभुजः कल्पितरेखाङ्जसमानः स्यात् । यथा हतरेखा कल्पिता अबजदं चतुर्युजं कल्पितं लकोणश्च । ब जकर्णेन अबजदचतुर्मुजस्य विभागद्वयं कार्यम् । पुनीतरे // खायां झहतकचतुर्युजं अबज त्रिभुजसमं कार्यम् । हकोणो र्भ लकोणसमः कार्यः । झकरेखोपरि वकमचतुर्युजं बजदत्रिभुजसमं कार्यम् । वझककोणो लकणसमः कार्यः । एष कोणः हझककोणेन साईं समकोणद्वयेन समः। तदा हवरेखा एका सरला रेखा जाता । एवं तमरेखापि सरलास्ति । तदा हमचतुर्युजं समानान्तरभुजं हत खोपरि अबजदचतुर्युजेन समं हकोणस्तु लकोणेन समो जातः । इदमेवास्माकमभीष्टम् । अथ षदचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र एकस्यां रेखायां समकोणं चतुर्भजं क्षेत्रं कर्तव्यमस्ति । यथा अबरेखायां अचिहात् अबतुल्यः अजलम्बः कार्यः । ब चिहात् अजरेखासमानान्तरा अबतुल्या बदरेखा द, कार्या। जदरेखा संलमा कार्या । अदचतुभुजं समा नान्तरभुजं समभुजं समकोणं जातम् । इदमेवास्मा कमिष्टम् । १ समानान्तरभुजं D. ६१ अथ सप्तचत्वारिंशत्तमं क्षेत्रम् । तत्र समकोणत्रिभुजस्य कर्णवर्गा भुजद्वयस्य वर्गयोगेन तुल्यो भवति । यथा अबजत्रिभुजे अः समकोणोऽस्ति बजकर्णस्य वर्गः बअअ जभुजयोर्वर्गयोगतुल्योऽस्ति । अत्रोपपत्तिः । त्रिभिभुजैः समकोणं समचतुर्भजं चतुर्भजत्रयं कार्यम् । कानि तानि चतुर्भजानि एकं बदहजं द्वितीयं बव अअं तृतीयं अतकजम् । बअहं बंअजं एतौ द्वौ समकोणौ स्तः । तदा झअजमेका (X^ सरला रेखा जाता । एवं बअतमेका सरला गेज रेखा जाता । पुनः अचिहात् बदरेखायाः समानान्तरा अलरेखा कार्या। इयं रेखा त्रिभु- जान्तरे पतिष्यति । कुतः । दबअकोणः समकोणादधिकोऽस्ति । तदा बअलकोणो बअजकोणात्यूनोऽस्ति । तस्मादियं रेखा बजरेखायां न चिहे संपातं करिष्यति । पुनरियं रेखा बहचतुभुजस्य बलं जलं चतु भुजद्वयं करिष्यति । ततो वजरेखा अदरेखा च संयोज्या । वजबत्रि भुजे बअदत्रिभुजे वबभुजो बजभुजो वबजकोणः अबभुजबदभुज अबदकोणेन समानोऽस्ति । तदैतौ त्रिभुजै समानौ जातौ । पुनर्व जबत्रिभुवं झबचतुर्मुजस्यार्द्धमस्ति । अनेन प्रकारेणापि बअदत्रिभुजं बलचतुर्मुजस्यार्द्धमस्ति । तदा झबचतुर्युजं बलचतुभुजेन समानं जातम् । एवं तजचतुभुजं जलचतुर्युजेन समानं जातम् । तदा बजवर्गः बअअजभुजयोर्वर्गयोगेन समानो जातः । इदमेवास्माकम भीष्टम् । ३२ प्रकारान्तरेणाह । तत्र त्रिभुज कर्णस्य च चतुर्भजं पूर्वकृतमेव स्थापितं अलरेखा च यथावस्थिता स्थापिता । पुनर्बभरूपं अबस्य चतुर्युजं त्रिभुजोपरि स्थाप्यम् । ततो बअभुजः जअभुजतुल्योऽथवाऽधिकोऽथवा न्यूनः स्यात् । तदा क्रमेण अचिहं जचिहे पतिष्यति वा अजरेखाया बहिः पतिष्यति अथवा अजरेखायां पतिष्यति । पुनर्दवरेखा संयोज्या । तत्र अबवकोणो जबदकोण एतौ समकोणौ स्तः । पुनर्जबवकोणो द्वयोः समकोणयोः शोध्यते । तदा शेषं अबजकोणो वबदकोणश्चैतौ समानौ भवतः । पुनः अर्ब बवतुल्यमस्ति बी बदतुल्यम् । अबजकोणो वबदकोणचैतौ समानौ जातौ । पुनर्बवदकोणो बअज- कोणसमकोणसमानो जातः तदा दवसरेखा एका सरला रेखा जाता । अबरेखायाः समानान्तरा च जाता । तया अलरेखायां तचिहे संपातः कृतः । नअजकोणो जवअकोणेन समानोऽस्ति।पुनः अक्षवः समको णोऽस्ति । तदा तचिहं वचि भविष्यति । पुनर्दतलं सरलैका रेखा अ भविष्यति यदा अब अजतुल्यं भविष्यति । अथवा तचिहं वचिहे न भविष्यति अथवा अन्यचिहं भविष्यति । पुनर्यदा अब अजादधिकं स्यात् तदा तचिहं अवरेखोपरि पतिष्यति वा झ्वरेखाया बहिः पति प्यति । एवं क्षेत्रत्रयेऽपि बअझवक्षेत्रं बअतदक्षेत्रं समानं भविष्यति । एवं बजतदक्षेत्रे बनलदक्षेत्रं समानं भविष्यति तदा बअझवक्षेत्रं बनलदक्षेत्रसमानं भविष्यति । पुनः अनेन प्रकारेण अजभुजस्य चतुभुजं जलचतुर्द्धजसमानं भविष्यति । १३ पुनः प्रकारान्तरेणाह । तत्र कर्णस्य चतुर्युजं त्रिभुजोपरि पातनीर्यम्। अबभुजस्य चतुर्मुजं त्रिभुजाद्वहिः पातनीयैम् । जअरेखा कार्या सा दचिहे संपातं करिष्यति यदा अबअजैौ समौ स्तः। अथवा सा जअरेखा दहरेखायां कचिहे संपातं करिष्यति यदि अर्ब अजादधिकं स्यात् । अथवा दबरेखायां कबिहे संपातं करिष्यति यदि अर्ब अजाम्यूनं स्यात् । एवं प्रकारत्रयेऽपि अबोपरि बवलम्बो निष्काश्यः । दचिहात् बवोपरि दवलम्ब उत्पाद्यः । पुनः अकरेखा तथोत्पाद्य यथा दवरे सायां इचिहे संपातं करिष्यति । दवबत्रिभुजे अबजत्रिभुजे दब भुजो बजभुजतुल्यः । वकोणः अकोणतुल्यः। दबवकोणो जबअ कोणतुल्यश्चास्ति । तदा अबबवभुजौ तुल्यौ स्याताम्। अबझवक्षेत्रं अबभुजस्य समचतुर्युजं समकोणं भविष्यति त्रिभुजाद्वहिः पतिष्यति । पुनर्वदरेखा अलरेखा च तथा वर्जनीया यथा तचिहे संपातं करिष्यति । तदा दबअतक्षेत्रं अबवझसमचतुर्भजसमकोणक्षेत्रेण समानं जातम् ॥ पुनर्दबअतक्षेत्रं दबनलक्षेत्रसमानमस्ति । तदा अबभुजस्य समचतु भुजसमकोणक्षेत्रं दबनलक्षेत्रसमानं जातम् ॥ पुनः प्रकारान्तरेणाह । अबभुजसमकोणचतुर्युजक्षेत्रं त्रिभुजोपर्युत्पाद्दनीयम् । तत्र सचिवं १ कार्यम् A. B. २ कार्यम् A. B. ३ कार्यम् A. B. ६ ४ जचिहं भविष्यति यदा भुजद्वयं समानं भविष्यति वा अजभुजा द्वहिः पतिष्यति यदा अब अजादधिकं स्यात् वा अजोपरि पति ध्यति यदा अब अजादूनं स्यात् । पुनर्नअजकोणो जबअकोण तुल्यः स्याततो अनरेखा उत्पाद्य यथा झवभुजे कचिहे संपातं करि ष्यति । तदा कचिहं वचिहं भविष्यति यदि अर्ब अजसमानं वा झ्वोपरि पतिष्यति यदि अब अजादधिकं स्यात् वा झवाद्वहिः पतिष्यति यदा अवं अजात्यूनं स्यात् । ततो दबरेखा झकरेखा च उत्पाद्य यथा तचिहे संपातं करिष्यति । एवं अबजत्रिभुजे अकझत्रिभुजे च अबभुजो बअजकोणः अ बजकोणश्च अक्षभुजेन अझककोणेन झअककोणेन च समानस्तदा अकं बजसमानं जातम् । दबसमानं च बतं अकसमानं जातम् । अतक्षेत्रं दनक्षेत्रेण समानं जातम् । अबवझसमकोणसमचतुर्भजे नापि समानं जातम् । तदा दनक्षेत्रं अबभुजस्य समकोणचतुभुज क्षेत्रेण समानं जातम् । अनेन प्रकारेण अजभुजस्य समकोणसमचतुर्भजं क्षेत्रं जलचतुः भुजक्षेत्रेण समानं भविष्यति । पुनः अजभुजस्य समकोणचतुभुजक्षेत्रं अबजत्रिभुजोपरि पातनीयं वा अबजत्रिभुजाद्वहिः पातनीयम् । इदमेवास्माकमिष्टम् । • अतक्षेत्रेण दनक्षेत्रं समानं जातम् D. K. २ इदमेवेष्टम् A. B. ६१ पुनः प्रकारान्तरेणाह । पूर्वप्रकारेषु अलरेखया कर्णचतुर्मुजस्य भागद्वयं कृत्वा उपपतिरुका। अधुना कर्णचतुर्मुजस्य भागद्वयमकृत्वैवोपपतिरुच्यते । तत्र कर्णचतुर्द्धजं त्रिभुजोपर्युत्पाद्यम् । जअभुजस्तथा वर्धनीयः यथा चतुर्मुजस्य तचिहे संपातं करोति । यदि तचिहं दचिहे पतति तदा अबअबभुजै समानौ स्याताम् । यदि तचिहं दहभुजे वा दबभुजे पतति तदा अबअजभुजौ न्यूनाधिकौ स्याताम्। पुनर्दविहात् अजक्षु- बपरि दक्षस्य उत्पाद्यःपुनः अयं लम्ब उभयत्र वर्जनीयः । पुनस्तल स्म्बोपरि बनिहाल् इचिहात् लम्बद्वयं बवहकसंज्ञे उत्पाद्यमू । जझरे सायां इचिहात् हलम्बः कार्यः । तदा इललम्बः अचिहे पतिष्यति इलअब एका सरला रेखा भविष्यति यदा अबअजभुजौ समौ स्या ताम् । हललम्बो अबिहात् अन्यत्र चिहे पतिष्यति यदा द्वौ भुजौ न्यूनाधिकौ स्याताम्। अबजत्रिभुजे वबदत्रिभुजे कदहेत्रिभुजे लबह त्रिभुजे च बजभुजः बदभुजः दहशुजः हजभुजश्चैते समानाः। अव कलहोणाः समानाःशेषकोणा अपि समानाः। एतानि चत्वारि त्रिभु बानि समानानि । पुनः अवक्षेत्रं समकोणसमचतुर्युजं जातम् । एतत् वर्णाऽति । लकक्षेत्रमपि समकोणसमचतुर्धनं जातम् । इदं अबखूबस्य वास्ति । एते द्वे समकोणसमचतुर्युजे बहक्षेत्रसमकोणसम- चतुर्धजसमे स्तः । ६६ अत्रोपपत्तिः । बदवत्रिभुजदकहत्रिभुजयोर्योगः अबजत्रिभुजहलजत्रिभुजयो गसमः। शेषक्षेत्रं प्रथमत्रिभुजद्वयेन चेद्योज्यते तदा प्रथमसमकोण समचतुर्मुजद्वयं स्यात् । यदि द्वितीयत्रिभुजद्वयेन योगः क्रियते कर्णस्य समकोणसमचतुर्मुजं स्यात् ॥ प्रकारान्तरेणाह । अबअजौ द्वौ भुजौ यदाऽघिकन्यूनौ स्तः अबभुजोपरि समकोण समचतुर्भजं न पत्यते यथा अजभुजस्य समकोणसमचतुर्मुजं अजोपरि न पातितं तदा बअभुजस्तथा वर्द्धनीयो यथा जहभुजे नचिहे संपातं करोति । पुनर्हचिहात् दचिहाच बअरेखायां हझाद तलम्बा उपाधौ । हझरेखा वर्द्धनीया । पुनर्दचिहात् हझरेखायां दवलम्ब उत्पाद्यः । तकरेखा तबरेखातुल्या कार्या । पुनः कलरेखा तबरेखासमानान्तरा कार्या । एषा रेखा दबरेखायां मचिहे संपातं करिष्यति । पुनर्बचिहात् कलरेखायां बललम्ब उत्पाचः । तदा अबजत्रिभुजं तदबत्रिभुजं वदत्रिभुजं चैतानि समानि स्युः। लतं समकोणसमचतुर्भजं दी समकोणसमचतुर्भुजं चैते अजभुजस्य बअनुजस्य द वर्गरूपे स्तः। पुनर्लबम- म त्रिभुजं अजनत्रिभुजं च * मिथः समानमस्ति । द मकत्रिभुजं इनसूत्रिभुजं च समम् । तदा लबमत्रिभुजदबतत्रिभु जयोर्योगः स्तक्षेत्रसमकोणसमचतुर्मुजहनक्षत्रिभुजयोर्योगोऽस्ति । अयं बनजत्रिभुजेन समः । वदहन्निभुजं प्रथमयोगे योज्यते तदब त्रिभुजं द्वितीययोगे योज्यते पुनर्दतनहक्षेत्रं द्वाभ्यां चेघोज्यते यदा 1 D. K. inserbs तत्र after तः २ °तनीयं D. अबमजावधिकमस्ति । दनतहक्षेत्रस्य एकं खण्डं योज्यमपरं हीनं कार्यं यदा अबमबादूनमस्ति । तदा दो समकोणसमचतुर्युजे कर्णस्य सम ओोणसमचतुर्युजस्य समे भवत इत्युपपनम् । पुनः प्रकारान्तरम् । पदैकभुजचतुभुजं द्वितीयभुजचतुर्युजे पातनीयं भवति तदा पूर्वोक प्रकारेण क्षेत्रमुत्पाद्यम् ।पुनर्वकं वहतुल्यं कार्यम् । कलइलरेखे यशवद समानान्तरे कार्यं क्रमेण । पुनस्तथा वर्जुनीये यथा लचिहे संपातं क- रिष्यतः । तदा करेखा दहरेखायां मचिहे मिलिष्यति । अथै त्रयाणां त्रिभुजानां साम्यात् हलअजयोः साम्यात् कोणानां साम्याच्च हलमत्रिभुजं जअनत्रिभुज पॅरस्परं समानं जातमिति निश्चि तम् । पुनर्दकहरूसमत्वेन दकमत्रिभुजं हझनत्रिभुजमन्योन्यसम- मिति निश्चितम् । तदा दवहत्रिभुजमलहत्रिभुजयोर्योगः वलचतुभुज हनम्नत्रिभुजयोगोऽस्ति । अयं योगो बनजत्रिभुजेन समः । दवहत्रिभुजं प्रथम योगेन चैकं कार्यं तदब त्रिभुजं द्वितीयेन 'योज्यं हतनक्षेत्रे द्वयोर्योगयोर्मुकं कार्यं यदि अर्ब अजादधिकं स्यात् । यदि न्यूनं तदैकं खण्डं पूर्वयोगे योज्यं द्वितीयं खण्डं न्यूनं कार्यम् । तदा वलचतुर्युजं वतचतुर्युजं च दजचतुर्युजेन समानं जातमिति सिद्धम् ।

  • *

/ १ स्तः D. K. २ एवं A. B. ३ समत्वाच्च D. ३४ मिथः D. ५ यो च्यते A. B. १ चेयोज्यते A. B. ७ ‘बेयोज्यते A. B. ८ D. K. omits इति सिद्धम ३८ पुनः प्रकारान्तरम् । तत्र यथाकर्णचतुर्युद्धे त्रिभुजे न पतति एकध्रुबस्य च चतुर्मुखं त्रिभुजे पतति तथा क्षेत्रं कार्यम् । यथा अबभुजस्य अहवबचतुर्युद्धे त्रिभुजे पैतितं तदा शबिई जचिहे पतिष्यति यदि भुजद्वयं समं स्यात् । यदि भुजद्वयं न्यूनाधिकं स्यात् तदा चिह्न अजभुजे पतिष्यति वा बहिः पतिष्यति। पुनर्दव रेखा कार्या । तत्र पूर्वेकप्रकारेण निधीयते दवझ एकाासरळ रेखा जातेति । पुनः हचिहात् तद्रेखायां अग्नरेखायां च हकलम्बो इलढ च स्म्बश्च उत्पाद्यः । तदा इकबब एका सरला रेखा भविष्यति यदि भुज द्वयं समं स्यात् । यदि न्यूनाधिकं स्यात् तदा इकलम्बो झववदमध्ये भविष्यति । पुनश्चतुस्त्रिभुजसमत्वेन हकहरुसमत्वेन च वै। निश्चितं कलक्षेत्रं समकोणसमचतुर्मुजं अजभुजंव जातमिति । पुनः अबज- त्रिभुजलजहत्रिभुजयोर्योगस्य कदहत्रिभुजवबदत्रिभुजयोगसमत्वेन शेषक्षेत्रद्वययोगेन इवं निर्छितं जातं द्वयोभुजयोश्चतुर्युजे कर्णचतुर्द्ध जेन समे स्तः॥ पुनः प्रकारान्तरम् ॥ तंत्र कस्यापि भुजस्य चतुभुजं त्रिभुजोपरि न पततीतीष्टं यदा तदा त्रिभुजं कार्यम् । कर्णस्य चतुर्युजं च कार्यम् । भुजद्वयं वर्जुनीयं च । १ पातितं B. २ A. B. omit it. ३ A. B. add निश्चिता after it. | ४ सिद्धे A, B. ५ °स्यासि D. K. १ निधीयते D. K. ० यदेकमिष्टं D. K. ६९ पुनर्दनिहात् हचिहात् दलम्पो हवलम्बश्च तद्वद्योपर्युपायः । दत रेला इकरेखा भुजयोः समानान्तरा कार्या । एतद्यं ललिहे संपातं के करिष्यति जरेखायां जबरेखायां मचिहे नचि च संपातं करिष्यति । तदा बकनचिह्नानि एकत्र मिलितानि स्युः जतमविदानि चैकभूमिलि तानि स्युः यदि भुजद्वयं समं स्यात् । एतचिदत्रयेण त्रिभुजं स्यात् यदि न्यूनाधिकं भुजद्वयं स्यात् । पुनः अबजत्रिभुजदबत्रिभुज- छदत्रिभुजवजहत्रिभुजानां समत्वं निश्चि तम्। पुनीतक्षेत्रं लवक्षेत्रं च भुजद्वयस्य सम . कोणसमचतुर्भजं जातम् । बंकजतयोः सम- न * / । त्वेन शोणानां समत्वेन च बकनत्रिभुजज - हैं, भत्रिभुजे समे जात इति निश्चितम् । ४४ अनेनैव प्रकारेण दमहत्रिभुजं हनजत्रिजं सममति । मलहै त्रिभुजं क्षेत्रद्वये हीनं चेत् क्रियते तदा शेषं नलमजक्षेत्रे दलझत्रिभु जेन समं स्यात् । जवहत्रिभुजेनापि समं स्यात् । मवहतक्षेत्रबकन- त्रिभुजयोगस्यापि समानः स्यात् । दलहत्रिभुजं दझबत्रिभुजं चैते समे पूर्ववेत्रद्वयेन योज्यते । पुनर्नबदळक्षेत्रं मलद्वत्रिभुजं च पूर्वक्षेत्र द्वयेन योज्यते तदा कर्णस्य चतुर्युजं भुजद्वयस्य चतुर्भुजेन समं स्यात् । पुनरपि प्रकारान्तरम् । अस्मिन्नेव प्रकारे एकभुजस्य चतुर्भजं द्वितीयोपरि पतिष्यति तदा भुजद्वयं समं चैवाहैिं स्पष्टमेव । यदि भुजद्वयमधिकं न्यूनं वा तदा १ बैकत्र A. B. अबभुजो वर्जनीयः । अस्मिन् दचिहात् हनिहात् दझलम्बहवलम्बौ कार्यो। हखरेखा बज रेखा च यचिहे संलग्न कार्या । पुनर्दचिहात् । दतलम्बो हवरेखायां इ बचिहात् बकःम्बः दतरेखायां जचिहात् जललम्बः इखरेखायां च कार्याः । पुनर्दर्म दकतुल्यं अदिशि कार्यम् । मनसगरेखा दकसमानान्तरा कार्या । इयं रेखा दबरेखायां नबिहे बकस्य सचिहे इवस्य गचिहे संपातं करि ध्यति । ततो अबजत्रिभुजं लहजं तइदं इदबं दबकं एतानि समा नानीति निश्चितम् । पुनः कमक्षेत्रं क्षतक्षेत्रं समकोणसमचतुर्मुखं भुजद्वयस्यास्ति । पुनः मदजलयोः समत्वेन कणानां समत्वेन च मदनत्रिभुजं लबय त्रिभुजं च परस्परं समानं जातमिति निश्चितम् । पुनर्बसबवयोः सा म्येन कणानां सामान्येन च बनसत्रिभुजं बवयत्रिभुजं परस्परं समानं जातम् । तदा मनदत्रिभुजबदकत्रिभुजयोर्योगः मकचतुभुजबवय त्रिभुजयोगोऽस्ति। अयं योगो हजयत्रिभुजेन समानोऽस्ति । पुनरुंदब त्रिभुजं प्रथमेन युक्तं क्रियते तदहत्रिभुजं च द्वितीयेन युक्तं कार्यम् । बदतयक्षेत्रं त्रैयोर्युक्तं कार्यं यदि अबमजादधिकं स्यात् । न्यूनं चे तर्हि एकं खण्डं योज्यं द्वितीयं न्यूनं कार्यम् । तदा मकक्षेत्रं झतक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भी बहक्षेत्रेण समकोणसमचतुर्भजेन सममित्युक प्रकारेषु अन्येऽपि प्रकाराः संभवन्ति ते विस्तरभयादुपेक्षिताः ॥ पुनः प्रकारान्तरम् । यदि भुजानां चतुर्युजानि स्वस्वभुजोपरि पतन्ति तदाष्टधा क्षेत्रसंज्ञा १ चेयुॐ क्रियते A. B. २ चेद्द्वयोर्योजनीयं A, B. ७१ स्यात् तथा । प्रथमप्रकारे यथा कर्णस्य चतुर्मुजं त्रिभुजे पतति तादृशं क्षेत्रं कृत्वा बअजअनुज वर्जनीयौ यथा कर्णचतुभुजे मबिहे नचिहे च संपातं करिष्यतः । मचिहं नचिहं च हचि दचिहे क्रमेण पति ष्यति यदि भुजद्वयं समानं स्यात् । अथवा भुजद्वयोपरि पतिष्यति यदि न्यूनाधिकं स्यात् । पुनः दचिहात् हचिहान् दझलम्बो हतलम्बः उभयोरुपर्युपायः । पुनरेतद्भयं वर्जुनीयम् । बचिहाजचिहात् बव लम्बो जकलम्बश्च कार्यः । यथा वचिहे कचिहे मिलति । यदा भुज द्वयमधिकं न्यूनं स्यात् तदा बअभुजः अजाभुजादधिकः कल्पितः । पुनर्हचिहात् हललम्बो जरुरेखोपरि कार्यः । अयं लम्बः अचिहात् अन्यत्र पतिष्यति यदा भुजद्वयं न्यूनाधिकं स्यात् । यदा द्वौ भुजौ समानौ स्यातां तदा अबिहे पतिष्यति । पुर्नलकं अवक्षेत्रं च समकोणसमचर्तुभुजं स्यात् बेदरेखावर्णतुल्यं च यदा ः भुजद्वयं समं स्यात् । यदा न्यूनाधिकं स्यात् तदा अकशेत्रं अवक्षेत्रं समकोणसमचतुर्भजं भविष्यति। लकक्षेत्रं च समकोणविषमच. तुर्भनं भविष्यति । पुनः अबजत्रिभुजं कहजत्रिभुजं लहजत्रिभुजं वबदत्रिभुवं चैतानि समानानि स्युः । पुनः अजमत्रिभुजं लहन त्रिभुजं च समानं कोणसमत्वात् अजभुजलदभुजयोः समत्वाच्च । तदा जमझनौ सभौ भविष्यतः । महनदौ च समानौ स्याताम् । हमतत्रिभुजं दनक्षत्रिभुजं च समानं भविष्यति । पूर्वं अजमत्रिभुजं लइनत्रिभुवं सममासीत् । अस्मिन् द्वये लअहमक्षेत्रं योज्यते तदा १ फेंकअवक्षेत्रे A. B. २ जे स्यातां A. B. ३ बह A. B. K. ७२ नअमहक्षेत्रं लहजत्रिभुजसमं स्यात् । हजकत्रिभुजस्यापि समं स्यात् । मजकतक्षेत्रनदक्षत्रिभुजयोगस्यापि समं स्यात् । अस्मिन्द्वये अबी- त्रिभुजं वबदत्रिभुजं योज्यते तदा नअमहक्षेत्रअबजत्रिभुजयोगः मजकतक्षेत्रदनम्नत्रिभुजवबदत्रिभुजयोगसमो जातः । पुनरुभयो- दबअनक्षेत्रेण अजमत्रिभुजेन च * योगः कार्यः । तत्र प्रथमात् वहवर्गों के | भविष्यति द्वितीयात् अवअकौ द्वौ स- + मकोणचतुभुजौ भवतः ।इष्टं च स्यात्। केरे अनेनैव प्रकारेण बअन्यूनत्वेऽपि स्यात् । पुनः प्रकारान्तरम् ॥ यदा कर्णस्य चतुर्भी अवसंगैकचतुभुजं च त्रिभुजोपरि पतति भुजद्वयं समं च स्यात् तदा मदिष्टं प्रकटमेवं । कुतः । उत्पलत्रिभुः जानां समत्वात् । एतेषु त्रिभुजद्वययोगः भुजवर्गतुल्यः। चतुर्थे त्रिभु जानां योगः कर्णवर्गतुल्यो भवति । यदि अर्ब अजादधिकं स्यात् तदा तस्य चतुर्भजं कार्यम् । जअ रेखा बर्द्धनीया । यथा दहभुजे नचिहं स्पृष्टा बहिर्गच्छति तथा कार्या । दचिदात् हचित् दसलम्बो हललम्बस्तस्यां रेखायां कार्यः। जैचिहात् जकलम्बः अजरेखायां कार्यः । पुनर्हचिहात् हकलम्बः १ ‘बोत्पन्नं त्रिभुजानां समवा A. B. २ जचिहे कचिहात् कम्बः , A. B. पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१३९ ७९ जानि समानि उत्पस्यन्ते । तानि च पूर्वोक्तप्रकारेण समानि स्युः। नगचतुभुजं शेषं स्यात् । एतच्च अबअजभुजयोरन्तरवर्ग एव । पुन- स्तन्नरेखा कार्या । तदा अलक्षेत्रस्य अमक्षेत्रस्य च चत्वारि त्रिभुजानि भविष्यन्ति । पॅवोंकचतुर्णा त्रिभुजानां समानि स्युः। शेषं कवचतु भुजं नगचतुर्युजस्य समं स्यात् । तदा जदचतुर्युजं अबचतुर्मुजस्य अकचतुर्मुजस्य समानमस्तीति निश्चितम् । इदमेवेष्टम् ॥ प्रकारान्तरम् । भुजद्वयस्य चतुर्मुजं त्रिभुजे पतति कर्णस्य चतुर्भूज न पतति । यदा भुजद्वयं समानं चेत् तदा पूर्वोक्तप्रकार एव पये - * वसन्नः । यदा अबभुजोऽ - बK ॥ घिकोऽस्ति तदा चतुर्मुजं कार्यम् । वदरेखा कार्या कइरेखा च कार्या । तत्र द हे द ! दवसरेखा सरला एका रेखा जातेति निश्चितम् । हकतरेखाप्येका सर यति । पुनर्जकरेखा वर्द्धनीया लपर्यन्तम् । तदा जदचतुर्मुजस्य च त्वारि त्रिभुजानि भविष्यन्ति । मध्ये कवचतुर्युजं च भविष्यति । पुनः तझरेखा कार्या । तदा अलक्षेत्रस्य अमक्षेत्रस्य च चत्वारि त्रिभुजानि समानि भविष्यन्ति । उपरितनचतुर्णा त्रिभुजानामपि समानि भवि व्यन्ति । कवचतुर्भजं द्वयोयज्यते तदेष्टं स्फुटं स्यात् । पुनः प्रकारान्तरम् । एकभुजस्य चतुर्द्धजं त्रिभुजे पतति । यदा भुजद्वयं समानं स्यात् तदा स्पष्टमेव । यदि अब अधिकं स्यात् तदा चतुर्युजं कार्यम् । दव रेखा लामा कार्या। तदा दवझरेखा सरलैका रेखा जातेति निश्चितम् । १ A. B. add this sentence. २ A. B. read this sentence

as सम्मानि च स्युः. ३ D. omits this. पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१८९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/१९९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२०९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२११ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२१९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२२९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२३९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४०


 दचिह्नात् दहलम्बः अबभुजोपरि दझलम्बश्च अजभुजोपरि कार्यः। तस्मात् बअजकोणस्य यदि खण्डद्वयं तुल्यं कल्प्यते तर्हीतौ लम्बौ समानौ भवतः। कुतः। अचिह्नस्य कोणद्वयं समानमस्ति। हकोण-झकोणावपि समकोणौ स्तः। अदरेखा त्रिभुजद्वयेऽप्येकैवास्ति। तस्माद्दहरेखा दझरेखा च बअदत्रिभुजे जअदत्रिभुजे च समानलम्बरूपा जाता। तस्मात् बअदत्रिभुजस्य निष्पत्तिर्जअदत्रिभुजेन तथा जाता यथा बअभुजस्य अजभुजेनास्ति। पुनरपि अनयोत्रिभुजयोर्निष्पत्तिर्बददजयोर्निष्पत्तितुल्यास्ति। तस्मात् बददजयोर्निष्पत्तिर्बअअजनिष्पत्तितुल्या जाता।

 यदि तादृशी निष्पत्तिः स्यात् तदा कोणस्य द्वे खण्डे समाने भविष्यतः। कुतः। त्रिभुजयोर्निष्पत्तिर्बददजयोर्निष्पत्तितुल्यास्ति।  रेखा गणित 241.png बअअजनिष्पत्तेरपि तुल्यास्ति। यदा बअरेखा अजरेखा च भूमिः कल्पिता तदा अनयोत्रिभुजयोर्निष्पत्तिर्भूम्योर्निष्पत्त्या तुल्या भविष्यति। दहलम्बदझलम्बौ च समानौ भवतः। अदरेखा त्रिभुजद्वयेऽप्येकैव भविष्यति। तस्मात् हअदकोणझअदकोणौ समानौ भविष्यतः। इदमेवास्माकमिष्टम्॥

अथ चतुर्थे क्षेत्रम्।

 ययोर्द्वयोस्त्रिभुजयोः कोणाः समाना भवन्ति तयोर्भुजयोनिंष्पत्तिरेकैव भविष्यति। यः कोणस्तुल्यो भवति तदाश्रितभुजयोर्निष्पत्तिस्तुल्या भवतीति ज्ञेयम्।

 यथा अबजत्रिभुजे दइबत्रिभुजे बअजकोणजदहकोणौ समानौ कल्पितौ। पुनर्बजअकोणजहदकोणौ समानौ च कल्पितौ। पुनर् अबजकोणहजदकोणौ च समानौ कल्पितौ। तदा बजनिष्पत्तिर्जहपृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६६
कार्यम् । पुनः अजरेखोपरि समानान्तरभुजं अद लर
क्षेत्रतुल्यं इताख्यं तथा कार्यं यथा अबरेखा तद्भुज
खण्डं स्यात् । अधिकरेखोपर्युत्पन्नं अवक्षेत्रं समको- व -
णसमचतुर्भजं भवति । तस्मात् अबरेखा वचिहो
परि इष्टविभागा भविष्यति ।
अस्योपपत्तिः ।
तत्र झतक्षेत्रं अदक्षेत्रतुल्यमस्ति । तस्मात् स्वक्षेत्रं दवक्षेत्रतुल्यं
भविष्यति । झवक्षेत्रे वदक्षेत्रे वचिदस्य कोणद्वयं समानमस्ति । तस्मात्
तवभुजतुल्यअबभुजद्वभुजतुल्यअवभुजयोनिष्पत्तिः अववबयोर्निष्प
तितुल्या जातास्ति । इदमेवास्माकमिष्टम् ।
अथैकत्रिंशत्तमं क्षेत्रम् ।
द्वयोखिभुजयोभुजद्वयं मिलितं सत्तथाकोणमुत्पादयति
यथा प्रथमत्रिभुजस्य प्रथमभुजो द्वितीयत्रिभुजप्रथमभुजेन
समानान्तरो भवति । त्रिभुजस्य द्वितीयभुजः प्रथमत्रिभुजस्य
द्वितीयभुजेन समानान्तरितो भवति । समानान्तरभुजयोनि-
पतिरपि समाना चेद्भवति तदा तच्छेषभुजौ सरलैकरेखाप
तितौ भविष्यतः ।
यथा अबजत्रिभुजबदहत्रिभुजयोर्बजभुजबहभुजाभ्यां जबह-
कोण उत्पन्नः । अजभुजश्च बहभुजस्य समानान्तरः कल्पितः। जब
भुजश्च दहभुजस्य समानान्तरः कल्पितः । पुनः अजभुजबहभुजयो
निष्पतिजबभुजदहभुजयोर्निष्पत्त्या समाना कल्पिता । तस्मात्
अबदं सरला रेखा जाता ।
अस्योपपत्तिः ।
जकोणहोणौ समानौ स्तः । यतः प्रत्येकं जबइकोणतुल्यौ स्तः ।
पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२८९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/२९९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३०९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३११ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३१९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३२९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३३९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३८९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/३९९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४०९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४११ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४१९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४२९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४३९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४८९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/४९९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५०९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५११ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५१९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५२९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५३९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५६९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५८९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/५९९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६०९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६११ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६१९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६२९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६३९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६४९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६५९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६६९

11 has a third part, if 4 measure any number, that number has a fourth part and so fourth. Prop XXXVIII. Bil.'s enunciation of it is:-

  • If a number have any part, the number' whereof the part

taketbh its denomination shall measure it.' BOOK VIII. Prop. XVI. If between two like superficial numbers there is a mean proportional number, then he ratio of the products shall be equal to the square of the ratio of their sides of like proportion. सजातीयघातफळी:Products of two numbers which are bheir sides (शुओं) are called बातफलाका and when the sides are in the same ratio. the products are said to be like or similar. 6 and 24 have 2 and 8 and 4 and 6 respectively as their sides and 2 and 3 are in the same ratio as are 4 and 6. 6 and 24 are their like superficial or plain numbers Prop XVII. सजातीयघनफळे=Solid numbers are thoso which are products of three numbers. Like solid numbers, 80 and 240, have 2, 3 and 5, and 4, 6 and 10 as their sides and these sides are in the same ratio. Therefore 30 and 240 are similar Bolid numbers BOOK IX. क Prop. XII. Page 49 करूिपत in 8 seems to be impropar. It should be , Prop. XXVII Page 55 L 15. It should be शेषः अजं जदम् instead of शेषः Prop. XXXVII. If in a certain series of numbers which are in the same ratio a number equal to the second be taken from the first and also from the last, then the ratio of the first remainder to bho first

पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७३ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७४ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७५ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७६ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७७ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७८ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६७९ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६८० पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६८१ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६८२ पृष्ठम्:Rekha Ganita.djvu/६८३
"" इत्यस्माद् पुनः प्राप्तिः